Conduccion Bidimensional

CONDUCCION BIDIMENSIONAL BAJO CONDICIONES DE ESTADO ESTACIONARIO.

ANALISIS:

A fin de apreciar como se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1" T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación

"(T- T1)/( T1- T2)

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación (2T/x2)+ (2T/y2)=0, la ecuación diferencial transformada es:

(2/x2)+ (2/y2)=0

'Conducción bidimensional'

Y

T2, =0

W

T1, =0 T1, =0

0

X

T1, =0

Como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son

(0,Y) = 0 y (X,0) = 0

(L,Y) = 0 y (X,W) = 0

Advierta que a través de la transformación de la ecuación, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de  esta restringido al intervalo entre 0 y 1

Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y. Es decir, suponemos la existencia de una solución de forma

(X,Y) = X(x)*Y(y)

Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos

-(d2X/Xdx2) = (d2Y/Ydy2)

Y es evidente que la ecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar esta constante de separación -hasta ahora desconocida- como 2, tenemos

d2X/dx2 + 2X = 0

d2Y/dy2 + 2Y = 0

y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la asignación de 2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se eligiera un valor de 2 = 0, seria fácil demostrar que es imposible obtener una solución que satisfaga las condiciones de frontera que se establecen.

Las soluciones generales de las ecuaciones son, respectivamente,

X = C1cosx + C2senx

Y = C3e-y + C4e-y

En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es

 = (C1cosx + C2senx)( C3e-y + C4e-y)

Al aplicar la condición que  (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. además el requerimiento que  (x,0) = 0, obtenemos

C2senx(C3 +C4) = 0

Que solo satisface si C3 = - C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacerse con C2 = 0, esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de x y por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento (L,Y) = 0, obtenemos

C2 C4 senL(ey -e-y) = 0

La única forma de satisfacer esta condición es hacer que  tome valores discretos para los que senL = 0. estos valores deben entonces, ser de la forma

 = (n/L) n = 1,2,3,…

donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución inaceptable. La solución que se desea se expresa como

 = C2 C4 sen (nx/L) (eny/L -e ny/L)

Al combinar constantes y reconocer que la nueva constante depende de n, obtenemos

(x,y) = Cnsen(nx/L)senh(ny/L)

donde también hemos utilizado el hecho de que (eny/L -e ny/L) = 2 senh(ny/L). En la forma anterior obtuvimos realmente un número infinito de soluciones que satisfacen la ecuación diferencial original y las condiciones de frontera. Sin embargo, como el problema es lineal, se obtiene una solución más general a partir de una superposición de la forma

(x,y) = n Cnsen(nx/L)senh(ny/L)

Para determinar Cn aplicamos ahora la condición de frontera restante, que es de la forma

(x,W) =  Cnsen(nx/L)senh(nW/L)

Aunque la ultima ecuación parecería ser una relación extremadamente complicada para evaluar Cn , se dispone un método estándar. Este implica escribir una expansión en serie infinita análoga en términos de funciones ortogonales. Un conjunto infinito de soluciones g1(x), g2(x),…, gn(x),… se dice que es ortogonal en el dominio a"x"b si

"ab gm(x) gn(x) dx = 0 m " n

Muchas funciones exhiben ortogonalidad, incluidas las funciones trigonometricas sen(nx/L) y cos(nx/L) para 0"x"L. Su utilidad en el problema actual radica en el hecho de que cualquier función f(x) se expresa en términos de una serie infinita de funciones ortogonales

f(x) =  An gn (x)

La forma de los coeficientes

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