Conjunto y bases ortogonales

CONJUNTO Y BASES ORTOGONALES

Un conjunto de vectores no nulos, de un espacio V , se llama ortogonal si son ortogonales dos

a dos.

Una base ortogonal es una base formada por un conjunto ortogonal

Sea el conjunto T subconjunto de R2

T={(-1,2),(2,1)}={i,j} es base ortogonal de R2

 B es una base ortogonal

 Todos los vectores de T son unitarios

 Sea ( v,k,+, •) un espacio vectorial definido con producto interno, T subconjunto de V, entonces si T es conjunto ortonormal y es base de V, entonces T es base ortonormal de V.

 Sea el conjunto T subconjunto de R2

 T={(1,0),(0,1)}={i,j} es base ortonormal de R2

CONJUNTOS ORTOGONALES: Un conjunto de vectores es llamado conjunto ortogonal si cada uno de sus elementos son vectores ortogonales (esto quiere decir que son perpendiculares entre si o que su producto interno es igual a 0)

Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial DEFINIDO CON PRODUCTO INTERNO, T es un subconjunto de V.

T es un conjunto ortogonal si y solamente si:

Para todo vector que pertenezca a T y sean distintos tiene que cumplir que su producto interno sea 0

(v/u)=0

Ejemplo:

Sea T un subconjunto de R³

T= (1,0,0); (0,2,0); (0,0,-1)

Primeramente T es un sub espacio vectorial de R³

Sus elementos o vectores son distintos

Al realizar su respectivo producto punto entre ellos nos da 0

Esto se puede evidenciar claramente porque son vectores perpendiculares

Por lo tanto T es un conjunto ORTOGONAL

Nota importante:Todo conjunto ORTOGONAL es L.I (Linealmente Independiente) porque si:

T={ u1, u2, u3,…,un } ortogonal

T1= { α1u1,α2u2,…,αnun } ortogonal

Siendo α un escalar

Al multiplicar por cualquier escalar el conjunto sigue siendo ortogonal

BIBLIOGRAFIA:

http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-21.pdf

http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Algebra/Apuntes/AL_ap_06.pdf

EJERCICIOS

1. Sea S= {(3, -2, 2 ); (-2, 3, 6); (x, y, z )} Completar el conjunto ORTOGONAL:

2. EN R² DETERMINAR:

X, tal que (3, 2) y (1, x+2) sean ortogonales:

Sean u= (3, 2); y v= (1, x+2)

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