Continuidad

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Ejemplo

Estudiar la continuidad de en x = 2

1. La función tiene imagen en x = 2.

f(2)= 4

2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.

3. En x = 2 la imagen coincide con el límite

En la gráfica podemos comprobar que es continua.

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

La función es continua en − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función es continua en .

Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.

Función continua

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha

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