Continuidad

Cálculo Infinitesimal

Continuidad

Patricia López García

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Sea f una función de variable real, definida al menos en un entorno U de un punto a . Se dice que f es continua en a si existe el límite de f en a y dicho límite es igual a f(a), es decir, si:

Según la definición de límite, la relación anterior equivale a una cualquiera de las siguientes condiciones

a) ó b):

a)Para cada número real >0 ,existe otro real >0 tal que, siempre que para xU sea |x- a|< entonces se verifica que |f(x)-f(a)|<`para x cerca de a´.

b)Para cualquiera que sea la sucesión (xn) de puntos de U que tenga límite a, se verifica que la sucesión

(f (xn)) tiene límite f(a).

PRIMERAS PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD.

Sea f una función real de variable real de una variable real, definida al menos en un entorno de un punto a

En el supuesto de que f es continua en a, se verifica que:

1)La función está acotada `cerca de a ´.

2)Si es f(a)0, entonces f(x) tiene el mismo signo que f(a) `para x cerca da a´.

3)Toda función continua en un intervalo o conjunto cerrado o acotado (compacto) alcanzará en él, al menos una vez, sus extremos superior e inferior (máximos y mínimos absolutos).

4)Toda función continua en un intervalo cerrado es acotada en él.

5)Toda función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua en él.

6)La suma, resta, multiplicación y división de funciones continuas es una función continua excepto en los puntos donde el denominador es cero.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES.

Sea f una función real definida sobre un intervalo (a, b). Supongamos que c(a, b).

Si f(x) A cuando xc con los valores mayores que c, diremos que A es límite lateral.

Por la derecha de f en c y se indica :

El límite lateral por la dercha se designa también por medio de f(c+). En la terminología  , significa que para todo >0 existe un >0 tal que :

|f(x)- f(c+)| < simpre que c<x<c+ <b

Si f está definida en c y es f(c+)=f(c), diremos que f es continua por la derecha en c.

Si a<c<b, entonces f es continua en c si y solo si,

f(c )=f(c+)=f(c-)

Diremos que c es una discontinuidad de f, si no es continua en c. En este caso deberá darse alguna de las siguientes condiciones:

a)O no existe f(c+) o no existe f(c-).

b)Tanto f(c+) como f(c-) existen pero son distintos.

c)Tanto f(c+) como f(c-) existen y f(c+)=f(c-)f(c ).

En el caso c) se dise que el punto c es una discontinuidad evitable, ya que la discontinuidad podría evitarse volviendo a definir f en c de suerte

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