Ecuacion De Continuidad

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Cuando un fluido fluye por un conducto de diámetro variable, su velocidad cambia debido a que la sección transversal varía de una sección del conducto a otra.

En todo fluido incompresible, con flujo estacionario (en régimen laminar), la velocidad de un punto cualquiera de un conducto es inversamente proporcional a la superficie, en ese punto, de la sección transversal de la misma.

La ecuación de continuidad no es más que un caso particular del principio de conservación de la masa. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conducción.

Dado que el caudal es el producto de la superficie de una sección del conducto por la velocidad con que fluye el fluido, tendremos que en dos puntos de una misma tubería se debe cumplir que:

Que es la ecuación de continuidad y donde:

S es la superficie de las secciones transversales de los puntos 1 y 2 del conducto. V es la velocidad del flujo en los puntos 1 y 2 de la tubería.

Se puede concluir que puesto que el caudal debe mantenerse constante a lo largo de todo el conducto, cuando la sección disminuye, la velocidad del flujo aumenta en la misma proporción y viceversa.

En la imagen de la derecha se puede ver como la sección se reduce de A1 a A2. Teniendo en cuenta la ecuación anterior:

Es decir la velocidad en el estrechamiento aumenta de forma proporcional a lo que se reduce la sección.

EJERCICIO

Un caudal de agua circula por una tubería de 1 cm de sección interior a una velocidad de 0,5 m/s. Si deseamos que la velocidad de circulación aumente hasta los 1,5 m/s, ¿qué sección ha de tener tubería que conectemos a la anterior?

DESARROLLO

Aplicando la ecuación de continuidad:

Sustituyendo por la expresión de la superficie del círculo:

Simplificando y despejando:

Sustituyendo:

TEOREMA DE BERNOULLI

En todo fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento), incomprensible, en régimen laminar de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de todo su recorrido.

El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, térmica...) esta ha de permancer constante.

El teorema considera los tres unicos tipos de energía que posee el fluido que pueden cambiar de un punto a otro de la conducción. Estos tipos son; energía cinética, energía potencial gravitatoria y la energía debida a la presión de flujo (hidroestática). Veamos cada una de ellas por separado:

Energía cinética(hidrodinámica) Debida a la velocidad de flujo

Energía potencial gravitatoria Debida a la altitud del fluido

Energía de flujo(hidroestática) Debida a la presión a la que está sometido el fluido

Por lo tanto el teorema de Bernoulli se expresa de la siguiente forma:

Donde:

• v es la velocidad de flujo del fluido en la sección considerada.

• g es la constante de gravedad.

• h es la altura desde una cota de referencia.

• p es la presión a lo largo de la línea de corriente del fluido (p minúscula).

• ρ es la densidad del fluido.

Si consideramos dos puntos de la misma conducción (1 y 2) la ecuación queda:

Donde m es constante por ser un sistema cerrado y V también lo es por ser un fluido icompresible. Dividiendo todos los términos por V, se obtiene la forma más común de la ecuación de Bernoulli, en función de la densidad del fluido:

Una simplifación que en muchos casos es aceptable es considerar el caso en que la altura es constante, entonces la expresión de la ecuación de Bernoulli, se convierte en:

EJERCICIO

Una aplicación muy extendida del sistema anterior es el tubo de Venturi. Este sistema permite medir la velocidad de flujo de un fluido a través de una tubería utilizando un sistema como el de la figura:

Obtén la expresión teórica que permite calcular la velocidad de circulación en la tubería 1 en función de su diámetro, del diámetro del estrechamiento y de la longitud y dendisdad de la columna de líquido manométrico (h).

Como punto de partida toma:

* La ecuación de continuidad:

* El teorema de Bernoulli simplificado para altura constante:

DESARROLLLO

Despejamos en la ecuación de continuidad v2 y sustituimos en el teorema de Bernoulli:

Y despejando v1:

Para calcular la presión en P2 y P1 tenemos en cuenta lo siguiente. Una vez que se estabilice el sistema, la presión en la base del tubo manométrico (tubo amarillo) ha de ser la misma por la derecha y por la izquierda. Por lo tanto la diferencia de presión entre los puntos 1 y 2 en la tubería ha de ser igual y de sentido contrario a la diferencia de presión

...