Continuidad De La Accion

CAP´ITULO IV.

CONTINUIDAD DE

FUNCIONES

SECCIONES

A. Definici´on de funci´on continua.

B. Propiedades de las funciones continuas.

C. Ejercicios propuestos.

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A. DEFINICI ´ON DE FUNCI´ON CONTINUA.

Una funci´on y = f(x) se dice continua en un punto x = c cuando existe el

l´ımite de la funci´on en el punto x = c y dicho l´ımite es f(c).

Esta definici´on da lugar a tres condiciones que debe cumplir la funci´on para

ser continua en c:

a) c est´a en el dominio de la funci´on.

b) existe l´ım

x!c

f(x) (es decir, los l´ımites laterales son finitos e iguales).

c) l´ım

x!c

f(x) = f(c).

Esto quiere decir que para que una funci´on sea continua no basta que tenga

l´ımite, sino que adem´as dicho l´ımite tiene que coincidir con el valor de la

funci´on en el punto correspondiente.

Las funciones que no son continuas se llaman discontinuas. Hay varios tipos

de discontinuidad dependiendo de la condici´on que no se cumple.

A) Discontinuidad evitable: Corresponde al caso en que la funci´on tiene

l´ımite pero no coincide con el valor f(c). Se llama evitable porque

basta definir f(c) como el l´ımite de la funci´on en c para que la funci´on

sea ahora continua.

B) Discontinuidad de primera especie: Puede ser de salto finito cuando

existen los dos l´ımites laterales pero son distintos, o de salto infinito

cuando alguno de los l´ımites laterales es infinito.

C) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Si alguno de los dos l´ımites

laterales no existe.

Las operaciones algebraicas con funciones continuas dan como resultado

nuevas funciones continuas, salvo en la divisi´on por cero y las ra´ıces de

´ındice par de funciones que toman valores negativos.

PROBLEMA 4.1.

Estudiar la continuidad de la funci´on f(x) = x + |x|

2 .

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Soluci´on

Esta es una funci´on algebraica s´olo que el valor absoluto hace que cambie

la forma de la funci´on en el punto x = 0. Esto quiere decir que si x 6= 0, la

funci´on es continua.

Para estudiar el comportamiento de la funci´on en x = 0, debemos calcular

los l´ımites laterales.

l´ım

x!0−

x + |x|

2

= l´ım

x!0−

x − x

2

= 0,

l´ım

x!0+

x + |x|

2

= l´ım

x!0+

x + x

2

= 0,

lo que indica que la funci´on tambi´en es continua en x = 0.

Podemos comprobar este resultado dibujando la gr´afica de la funci´on. Esta

es de la forma:

Y

y = x

y = 0 X

PROBLEMA 4.2.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones indicando los

puntos de discontinuidad:

a) f(x) = [x2].

b) f(x) = [px].

c) f(x) = [2x].

d) f(x) = p[x].

e) f(x) = px − [x].

f) f(x) = [x] + [−x].

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Soluci´on

Sabiendo que la parte entera s´olo es discontinua en los enteros, los puntos

de discontinuidad son, respectivamente:

a) x2 = n () x = ±pn con n 2 N. (En x = 0 la funci´on es continua.)

b) px = n () x = n2 con n = 0, 1, . . .

c) 2x = n () x = n/2 con n 2 Z.

d) Como el dominio de la funci´on es [0,1), los puntos de discontinuidad

son los enteros positivos.

e) Como x − [x]  0 para todo x, los puntos de discontinuidad son x 2 Z.

f) Si n es cualquier n´umero entero, los l´ımites laterales son

l´ım

x!n−

[x] + [−x] = n − 1 + (−n) = −1; l´ım

x!n+

[x] + [−x] = n + (−n − 1) = −1.

Como f(n) = 0 6= −1, la discontinuidad es evitable en todo Z.

PROBLEMA 4.3.

Estudiar la continuidad de las funciones:

a) f(x) =

1

x2 + 1.

b) f(x) =

1

x2 − 1.

Soluci´on

a) Como 1 + x2 = 0 no tiene ra´ıces reales, la funci´on es continua en todo

R.

b) Como la ecuaci´on x2 − 1 = 0 tiene ra´ıces x = 1 y x = −1, la funci´on es

continua en R\{−1, 1}. Adem´as, como l´ım

x!1

1

x2 − 1

= l´ım

x!−1

1

x2 − 1

= 1,

la funci´on presenta discontinuidades de primera especie infinitas en los

puntos x = −1 y x = 1.

124

PROBLEMA 4.4.

Estudiar la continuidad de las funciones

a) f(x) =

1

x

.

b) f(x) =

1

x − 1.

c) f(x) = x2/3.

d) f(x) =

2

3x−1/3.

e) f(x) =

1

ex .

Soluci´on

a) La funci´on es continua en todo x 6= 0, porque es racional y la ´unica ra´ız

del denominador es x = 0.

b) La funci´on es continua en todo x 6= 1 por la misma raz´on del apartado

anterior.

c) La funci´on es continua en todo el campo real pues el ´ındice de la ra´ız es

impar.

d) Como f(x) =

2

3x−1/3 =

2

3p3 x

, la funci´on es continua en R \ {0}.

e) Como el denominador no se anula en ning´un valor real, la funci´on es

continua en todo R.

PROBLEMA 4.5.

Indicar la naturaleza de la discontinuidad en x = 0 de las siguientes

funciones:

a) f(x) = cosec x.

b) f(x) = p1/x.

c) f(x) = 3p1/x.

d) f(x) = cos(1/x).

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Soluci´on

a) Como l´ım

x!0

cosec x = 1, la funci´on presenta una discontinuidad infinita

de primera especie.

b) Como l´ım

x!0−p1/x no existe, la discontinuidad es de segunda especie.

c) Tenemos que l´ım

x!0

3p1/x = 1, por lo que la discontinuidad es infinita de

primera especie.

d) En este caso, l´ım

x!0

cos(1/x) no existe, por lo que la discontinuidad es de

segunda especie.

PROBLEMA 4.6.

Dada la funci´on f(x) = x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6

x2 − 5x + 6 , determinar la clase

de discontinuidad que posee en los puntos x = 2 y x = 3.

Soluci´on

Como f(x) = x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6

x2 − 5x + 6

=

(x − 2)(x − 3)(x2 − 1)

(x − 2)(x − 3)

, resulta que

l´ım

x!2

f(x) = 3 y l´ım

x!3

f(x) = 8, pero los puntos x = 2 y x = 3 no est´an en

...