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Álgebra — Abordando Problemas

Objetivos de aprendizaje

• Estudiar las propiedades de los números reales y el orden de las operaciones.

• Desarrollar una estrategia para la solución de problemas algebraicos.

Introducción

El Álgebra es una herramienta poderosa para resolver problemas y obtener conocimiento. Pero como cualquier otra habilidad, se requiere tiempo para dominarla. A medida que avances, que no te sorprenda o desaliente el encontrar ideas y situaciones que te confunden. Después de todo, el mundo es grande y complicado, por lo que tomará algo más que matemática simple para entenderlo.

Por suerte, hay un método paso a paso para abordar cualquier situación algebraica. Cuando te encuentres con un problema, sólo respira profundamente, sigue los pasos que te presentamos a continuación y encontrarás la solución.

Pasos para Encontrar Soluciones

A veces, especialmente cuando estés más familiarizado con el álgebra, verás un problema y sabrás exactamente qué hacer. En otras ocasiones, te toparás con un problema que te toma por sorpresa y no sabrás siquiera cómo empezar. Ya sea que el camino a la solución sea obvio o no, existen una serie de pasos que te ayudarán a encontrar la dirección correcta:

Estrategia para la solución de problemas

1) Entender el problema

2) Buscar patrones familiares

3) Dividir el problema

4) Visualizar

5) Probar diferentes técnicas

6) ¡No darse por vencido!

1) Entender el problema: Comprende dónde estás y a dónde necesitas llegar antes de empezar a trabajar. Observa cuidadosamente el problema para asegurarte que entiendes bien la pregunta. Identifica las cantidades conocidas así como las no conocidas (incógnitas), Empieza a pensar en las técnicas que podrían ser útiles y el tipo de respuestas que esperas encontrar.

2) Buscar patrones familiares: Utiliza tu experiencia como guía. ¿Has visto problemas similares? ¿Hay algo en la forma de la ecuación o de la gráfica que te sea familiar? Si puedes comparar fórmulas o términos con problemas que has resuelto antes, es muy probable que puedas utilizar la misma estrategia.

3) Dividir el problema: A veces, un problema grande y complicado no es nada más que un conjunto de varias preguntas pequeñas y simples. Fíjate si hay piezas que puedas separar y trabajar en ellas individualmente. Tal vez no puedas encontrar todas las variables al mismo tiempo, pero podrías encontrarlas una por una. Una vez que hayas resuelto las partes fáciles, las respuestas que obtuviste te pueden ayudar a solucionar el resto del problema. ¡Divide y vencerás!

4) Visualizar: Una imagen vale más que mil palabras. A veces, una descripción verbal o una ecuación no se entienden fácilmente. Un bosquejo rápido o una gráfica bien diseñada pueden mostrar asociaciones e ideas de manera más clara que las palabras o los números. Un cuadro, una tabla o un diagrama pueden mostrar una mejor interpretación de la situación. Cuando creas una representación visual del problema, te permites una forma alternativa de buscar respuestas.

5) Probar diferentes técnicas: Si en un principio no tienes éxito, intentarlo e intentarlo de nuevo. Habrá momentos en los que el primer enfoque que pruebas no te lleva a ningún lado. No te rindas y trata de otra forma. Piensa en la razón por la que una técnica no funcionó, puede ser que te haya dado una respuesta pero no la que estabas buscando. ¿Te quedaste atorado a la mitad del proceso porque no tenías suficiente información? Tal vez necesitas asegurarte de que entendiste bien el problema.

6) ¡No darse por vencido!: La verdad está ahí. Si lo sigues intentando y varías tu método la encontrarás. Tómate un momento y vuelve a analizar el problema con otros ojos. Trata revisando tus notas. ¡Eventualmente encontrarás la respuesta!

Revisión de las Propiedades Matemáticas

Si alguna vez has jugado un videojuego o empacado una maleta para un viaje largo, sabrás que el orden y la ubicación de los objetos hacen la diferencia en el resultado. Algunas cosas pueden ser cambiadas de lugar a donde sea conveniente, mientras que otras sólo pueden acomodarse de cierta manera.

El arreglo de números y variables en una expresión algebraica funciona de la misma forma. Algunas veces, la situación nos permite cambiar valores y operaciones. Otras, se requiere que los números sean manejados de cierta manera o el proceso resultará erróneo. La habilidad de jugar con las partes de una ecuación (o no) se describe como propiedades matemáticas.

Las mismas propiedades que aprendiste cuando estudiaste aritmética también son válidas en el álgebra. Si ha pasado tiempo desde que las estudiaste, revisa las propiedades siguientes para refrescar tu memoria.

Propiedad Asociativa

La Propiedad Asociativa describe cómo la asociación o agrupamiento de números y variables puede ser cambiada en expresiones y ecuaciones.

La Propiedad Asociativa de la Suma nos dice que los números en una suma pueden ser operados en cualquier orden y la expresión sigue siendo válida:

Para todos los números reales a, b, y c, (a + b) + c = a + (b + c)

La Propiedad Asociativa de la Multiplicación establece que los números en una multiplicación pueden ser operados en cualquier orden y el valor de la expresión no cambia:

Para todos los números reales a, b, y c, (ab)c = a(bc)

Sin embargo, la Propiedad Asociativa no funciona para la resta o la división. En esos casos, el orden en que las operaciones son realizadas afectará el valor de la expresión.

Propiedad Conmutativa

La Propiedad Conmutativa describe cómo los números y variables pueden moverse o conmutarse dentro de las expresiones y ecuaciones.

La Propiedad Conmutativa de la Suma dice que cuando dos valores son sumados, el cambiar su lugar en la expresión, no afecta el resultado de la suma:

Para todos los números reales a y b, a + b = b + a

La Propiedad Conmutativa de la Multiplicación establece que los números en una expresión de multiplicación pueden también ser cambiados de lugar sin afectar el valor de la misma:

Para todos los números reales a y b, ab = ba

Sin embargo, la Propiedad Conmutativa no es válida

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