Convolucion

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

Para comenzar a estudiar los sistemas, debemos primero considerar el concepto de señal.

Si bien es un término de muy amplio alcance, en el contexto que nos atañe consideramos como señal a toda variación de una cantidad física (por lo general con el tiempo) susceptible de ser representada matemáticamente y de la cual podemos obtener alguna información o realizar algún cambio.

Según su naturaleza podemos clasificar a las señales en dos grupos, a saber: las que pueden definirse en cada instante de un determinado intervalo, llamadas señales de tiempo continuo, y aquéllas que pueden representarse como una sucesión de de valores ordenados mediante un índice entero, llamadas señales de tiempo discreto. (El uso de la palabra "Tiempo" establecida por el uso alude a que la mayoría de las señales procesadas dependen del tiempo, sin ser éste el caso general).

Con esto, definiremos como sistema a cualquier ente físico o proceso capaz de recibir una señal, denominada de entrada, o excitación ( x(t) ), y transformarla en otra señal que denominaremos de salida o respuesta. ( y(t) )

Según la naturaleza de las señales que los sistemas procesan, usualmente se los clasifica tambien como "de tiempo continuo" o "de tiempo discreto".

Como puede apreciarse, las definiciones previas son de carácter muy general. Esto pone en evidencia una de las grandes ventajas de la teoría de señales y sistemas, esto es: puede aplicarse al estudio de una gran cantidad de problemas reales de muy diversa naturaleza física.

En este trabajo centraremos nuestra atención en un tipo particular de sistemas, denominados “Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo” o “SLTI”,

Nota: Si bien este trabajo está desarrollado en tiempo continuo, pueden hallarse relaciones totalmente análogas para los sistemas de tiempo discreto

Linealidad

Se dice que un sistema es lineal si cumple con el llamado principio de superposición, el cual a su vez se compone de dos partes :

1. Homogeneidad: (1)

2. Aditividad: (2)

Combinando la (1) y la (2): (superposición)

Evidentemente, esto se cumplirá si el sistema, para obtener la salida, efectúa sobre la señal de entrada operaciones que son matemáticamente lineales, como ser: suma, multiplicación por una constante, diferenciación e integración.

A partir de esto es importante entender porqué las ecuaciones íntegro-diferenciales lineales son la herramienta apropiada para modelar matemáticamente la relación entrada-salida de este tipo de sistemas, ya que en ellas, en su forma general, intervienen todas las operaciones antedichas.

Invariabilidad Temporal

Decimos que un sistema es invariante en el tiempo, si la respuesta del mismo no depende del momento en que es excitado, formalmente:

(3)

Esta es una propiedad importante del sistema, puesto que lo hace más predecible y posibilita su análisis por medio de los métodos que estudiaremos mas adelante.

Físicamente, la invariabilidad temporal implica que los constituyentes de nuestro sistema, no se alterarán y conservarán sus propiedades con el paso del tiempo: "sus parámetros son constantes"

Por ejemplo, un circuito electrónico no sería invariante en el tiempo si sus componentes (resistencias, inductores, condensadores, etc...) cambiasen de valor, como sucede por degradación de los materiales que los componen, lo cual en general es un proceso lento.

Es importante señalar que la invariabilidad temporal del sistema establece que la ecuación diferencial lineal que lo define sea a coeficientes constantes, pues dichos coeficientes están definidos por los componentes físicos del sistema (resistencias, inductores, masas, resortes, amortiguadores, etc.).

Consecuencias Importantes

El hecho de que un sistema sea LTI, hará más manejable su análisis: puesto que es posible descomponer a una señal arbitraria en componentes más simples, hallar las respuestas del sistema a cada una de ellas, y luego, por el principio de superposición, sumar dichas respuestas para obtener la respuesta total a la entrada arbitraria (compuesta).

Esta forma de tratamiento, como se verá, sirve de base para varios métodos de análisis de SLTI, en particular:

1 La interpretación de una señal arbitraria como una suma de impulsos ponderados, es la base del método de convolución, que caracteriza al sistema en función de su respuesta impulsiva.

2 La representación de la señal de entrada como una suma de sinusoides armónicas ponderadas, conduce a las Series de Fourier.

3 La descomposición de una señal arbitraria en una suma de exponenciales complejas ponderadas, es una serie de Fourier de tipo exponencial y es la base para el estudio por medio de las transformadas de Fourier y de Laplace.

Método de Convolución

Ahora profundizaremos sobre el primero de los métodos de análisis de SLTI antes mencionados.

El método de convolución sirve para hallar la respuesta del sistema a una entrada arbitraria, conociendo previamente la respuesta impulsiva del mismo.

Llamamos repuesta impulsiva, h(t), a la respuesta del sistema cuando es excitado con la señal delta de Dirac o simplemente, impulso δ (t) ( nos referiremos al impulso unitario, o sea de área = 1 ).

Ésta es una señal que posee amplitud infinita, duración infinitesimal y área finita.

Como puede deducirse de sus características, δ (t) es una señal meramente teórica y no reproducible en la práctica. Por lo tanto, debemos conformarnos con aproximarla mediante un pulso de una amplitud y duración determinados de manera tal que el error cometido esté dentro los márgenes aceptables para el caso.

Una de las propiedades más importantes del impulso es, como sabemos, la de muestreo de una señal, o selección del impulso. Esto es:

Propiedad que puede verificarse fácilmente. Este tipo de integrales no se evalúa analíticamente por los métodos clásicos. Hay que ver que el producto en el integrando es, en definitiva, la δ (-t) con área (coeficiente) = x(t) ubicada en  = t. Podemos sacar x(t) que actúa como coeficiente, de la integral que procede ( se evalua) por .



Así: x(t) = x(t)  δ (-t) d = x(t) dado que el área de δ (-t) =1

-

Aquí

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