Costo, Ingreso Y Utilidad

UNIDAD DE COMPETENCIA VI

Construir e interpretar modelos matemáticos

lineales a partir de funciones de producción

6.1 Funciones de producción: Costo, Ingreso y Utilidad.

Cuando una empresa se da a la tarea de fabricar un artículo determinado, surgen varias interrogantes. Suponiendo que la empresa ya sabe qué es lo que va a producir, ahora deberá saber cuánto va a producir y a qué precio venderá (datos que serán proporcionados por el punto de equilibrio en el mercado), pero lo mas importante para una empresa es sin duda saber cual va a ser la ganancia generada por las ventas efectuadas a un precio determinado, para lo cual se requieren tres funciones importantes de producción: costos, ingresos y utilidad.

Función de Costo Total [C(x)].- El costo total estará determinado por todos aquellos gastos que se generen en la empresa y que tengan como finalidad la producción. Los costos se dividen en dos categorías generales: fijos y variables. Los costos fijos (Co) permanecen constantes en todos los niveles de producción, y comúnmente incluyen renglones como renta de local, depreciación, intereses, costo de instalaciones, planta y equipo; los costos variables [V(x)] son los que cambian con la cantidad producida, e incluyen rubros como

VI. Funciones de Producción. Matemática

mano de obra, materiales y gastos de publicidad. El costo total a cualquier nivel de producción es la suma de los costos fijos mas los costos variables a ese nivel (C(x) = V(x) + Co).

Función de Ingreso [R(x)].- El ingreso son todas las entradas de dinero que tenga la empresa por concepto de ventas, y su función se obtiene simplemente multiplicando el precio "P" de cada unidad vendida por la cantidad "x" de unidades que se vendieron (R(x) = Px). Suponiendo que el precio del artículo es constante, entonces la gráfica del ingreso será una función lineal cuya intersección con el eje se encontrará en el origen y su pendiente será igual al precio por unidad.

Función de Utilidad [U(x)].- La utilidad total está determinada por la pérdida o ganancia de dinero que se genere de la operación de fabricación y venta del artículo. Es la diferencia entre el Ingreso y el Costo Total (U(x) = R(x) - C(x)). La gráfica de la función de Utilidad se genera cuando en un mismo sistema de coordenadas graficamos las funciones de Costo Total y de Ingreso. Al punto de intersección entre ambas funciones se le llama "punto de equilibrio en la producción" y representa la cantidad a la que el productor no obtiene ni pérdidas ni ganancias, es decir, es la cantidad para la cual hay justamente los ingresos suficientes para cubrir los costos, información sumamente importante, ya que nos da una idea de cuál deberá ser la producción mínima de la empresa.

EJEMPLO 1:

Supóngase que el costo fijo de producción de un artículo es $ 5000; el costo variable de $ 7.50 por unidad, y que el artículo se vende a $ 10 la unidad.

a) ¿Cuál será el costo de producir 10,000 artículos?

Como la ecuación de costo total se forma con la suma de costos variables [V(x)] más los costos fijos [Co], entonces

C(x) = 7.5x + 5000

La producción está representada por “x”, de manera que el costo de producir 10,000 artículos [C(10,000) lo cual se lee “costo de 10 mil”] será

C(10,000) = 7.5(10,000) + 5000 = $80,000

b) ¿Cuál será el ingreso generado por la venta de 10,000 artículos?

VI. Funciones de Producción. Matemática

El ingreso se calcula multiplicando el precio unitario de venta por la cantidad de artículos que se vendieron. Así, la ecuación [R(x)] del ingreso sería R(x) = 10x. El ingreso por la venta de 10 mil artículos se calcula simplemente

R(10,000) = 10(10,000) = $100,000

c) ¿Cuál será la utilidad generada por dicha operación de fabricación y venta?

La utilidad [U(x)] la encontramos al restar el ingreso menos el costo. De esta forma,

U(10,000) = R(10,000) – C(10,000)

U(10,000) = 100,000 – 80,000 = $20,000

Podríamos también generar una ecuación de utilidad donde podamos sustituir directamente las unidades para las cuales deseamos saber la utilidad:

U(x) = R(x) – C(x)

U(x) = (10x) – (7.5x + 5000)

U(x) = 2.5x – 5000

Si sustituimos en esta ecuación las 10 mil unidades, tendremos:

U(10,000) = 2.5(10,000) – 5000 = $20,000

d) ¿Cuál es el punto de equilibrio?

El punto de equilibrio son las unidades (x) que hacen que la utilidad [U(x)] se haga igual a cero. Por lo que

2.5x – 5000 = 0

x = 2000 unidades

Esto quiere decir que el punto de equilibrio se logra con 2000 artículos, lo cual significa que si se producen 2000 unidades, su costo de producción será de

C(2000) = 7.5(2000) + 5000 = $20,000

Por otro lado, al venderse esos 2000 artículos a $10 cada uno, generarán un ingreso igual a

R(2000) = 10(2000) = $20,000

VI. Funciones de Producción. Matemática

Como puedes observar, el punto de equilibrio en la producción se da con el volumen

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