Crecimiento de poblaciones. calculo

Examinemos las implicaciones geométricas del límite de la ecuación. Consideramos s(t) simplemente como una curva. Examinemos un conjunto de rectas secantes que parten del punto en la curva. A cada secante le corresponde un par de incrementos  como se muestra en la figura 11.3. Las líneas AB, AC y AD son líneas secantes As estas líneas secantes se acercan a la línea tangente a la curva en el punto A. Como la pendiente de cada secante es , podemos interpretar la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva s(t) en el punto A. La interpretación de la derivada evaluada en un punto como la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto es útil para construir aproximaciones numéricas a soluciones de ecuaciones diferenciales. Las aproximaciones numéricas se discuten en la sección 11.5.[pic 5][pic 6][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Crecimiento de la población

El interés por la tendencia al crecimiento de la población se vio estimulado a finales del siglo XVIII cuando Thomas Malthus (1766-1834) publicó An Essay on the Principle of Population as It afecta a la mejora futura de la sociedad. En su libro, Malthus propuso un modelo de crecimiento exponencial de la población humana y llegó a la conclusión de que, con el tiempo, la población superaría la capacidad de cultivar un suministro adecuado de alimentos. Aunque los supuestos del modelo maltusiano dejan de lado factores importantes para el crecimiento de la población (por lo que el modelo ha demostrado ser de la población (por lo que el modelo ha demostrado ser inexacto para los países tecnológicamente desarrollados), es instructivo examinar este modelo como base para su posterior perfeccionamiento.

Identificación del problema Supongamos que conocemos la población en un momento determinado, por ejemplo, P0 en el tiempo  y que nos interesa predecir la población P en un momento futuro tiempo   En otras palabras, queremos encontrar una función de población P (t) para  que satisfaga [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Supuestos Considere algunos factores que pertenecen al crecimiento de la población. Dos obvios son la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad. La tasa de natalidad y la tasa de mortalidad están determinadas por diferentes factores. La tasa de natalidad está influida por la tasa de mortalidad infantil, la actitud y la disponibilidad de anticonceptivos, las actitudes hacia el aborto, la atención sanitaria durante el embarazo, etc.

La tasa de mortalidad se ve afectada por el saneamiento y la salud pública, las guerras, la contaminación, los medicamentos, la dieta el estrés psicológico y la ansiedad, etc. Otros factores que influyen en el crecimiento de la población en una región determinada son la inmigración y la emigración, las restricciones de espacio vital, la disponibilidad de alimentos y agua, y las epidemias. Para nuestro modelo, vamos a descuidar todos estos últimos factores. (Si no estamos satisfechos con nuestros resultados, podemos incluir estos factores más adelante en un modelo más refinado, posiblemente en un modelo de simulación). Ahora sólo consideraremos la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad. Como el conocimiento y la tecnología han ayudado a la humanidad a disminuir la tasa de mortalidad por debajo de la tasa de natalidad, las poblaciones humanas han tendido a crecer.

Empecemos por suponer que, durante un pequeño período de tiempo unitario, un porcentaje b (dado como un equivalente decimal) de la población es recién nacida. Del mismo modo, un porcentaje c de la población muere. En otras palabras, la nueva población   es la antigua población P (t) más el número de nacimientos menos el número de muertes durante el periodo de tiempo . Simbólicamente,[pic 11][pic 12]

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O

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A partir de nuestros supuestos, la tasa media de cambio de la población en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de la población. Utilizando la tasa de cambio instantánea para aproximar la tasa media de cambio, tenemos el siguiente modo de ecuación diferencial

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