DINAMICA DE SISTEMAS FISICOS
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DINAMICA DE SISTEMAS FISICOS
MANUAL UNIDAD II
FRANCISCO ROLANDO CAMACHO ALCALÁ
MATRÍCULA: 17079
INGENIERÍA MECATRÓNICA
ING. JUAN DE DIOS ALARDIN HERNANDEZ
20/SEPTIEMBRE/2019
Modelo de movimiento forzado
Cuando en un sistema masa-resorte hay una fuerza externa fe(t)(fuerza de excitación) se le conoce como sistema con movimiento forzado. Cuya ecuación diferencial es la siguiente: mx” + Bx´ + kx = fe(t), la solución general está dada por una solución complementaria Xe(t) y una solución particular de Xp(t).
Ejemplo
X(t) = C1 cos wt + C2 sen wt
m=2kg
k=50N/m
Vo= 2 m/s
Xo= -1
c1=Xo c2=Vo/w
C1=-1m c2=2/w
w=√k/m = √50/2 = 5
C2=2/5
X(t) = -cos5t + 2/5 sen 5t
X(s)= -cos5(5) + 2/5 sen 5(5)
X(5) = -1.044m
X´t = 5 sen 5t + 2 cos 5t
X´(5) = 5sen5(5) + 2 cos5(5)
X´(5) =1.3206 m/s
Ecuación de movimiento amortiguado de un resorte
mx” + Bx´ + kx = 0
x(t) = C1 e^r1 + C2 e^r2
Ejercicios:
Se tiene un resorte que soporta una masa de 4.5kg que provoca que el resorte se alargue 1m, quedando en equilibrio.
Con otra masa de 1kg, se sumerge en un liquido que tiene una constante de 15 veces la velocidad instantánea
Se extiende la masa a 1m del equilibrio, al soltarla adquirere una velocidad de 4.5m/s.
Determinar la posición de la masa en cualquier instante.
F=-kx
-k=f/t
-k= (4.5(9.81))/1
Vo=4.5m/s
Xo=1m
x(t) = C1 e^r1 + C2 e^r2
r^2 + 15r +44.14 =0
r1=-4
r2=-11
x(t) = C1 e^-4t + C2 e^-11t
x´(t) = C1 e^-4t + C2 e^-11t = 4.5m/5
C1+C2 =1
-4C1 -11C2 = 4.5
C1=2.21
C2=-1.21
X(t)= 2.21e^-4t + (-1.21)e^-11t
Una fuerza de 400N alarga u resorte 2m. Una masa de 50kg se une al extremo del resorte y se libera inicialmente desde el equilibrio con una velocidad de 10m/s.
Encuentre la ecuación diferencial, los valores de C1 y C2 para obtener la ecuación de movimiento y velocidad.
F=400N
Xo=2m
m=50kg
v=-10m/s
x(t) = C1 cos wt + C2 sen wt
-k=F/x = 400/2 =200
K=-200
w=√k/m = √200/50 = 2
C1=Xo = 0
C2=-10/2 =-5
X(t) = C1 cos wt + C2 sen wt
X(t) = 0 cos 2t + (-5) sen 2t
X(t)= -5 sen 2t
X´(t)= 2(-5) sen 2t
X´(t)= -10 sen 2t
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Se tiene un sistema masa resorte donde m=5kg y k =20Nm que esta sometido a una fuerza de excitación fe(t)=5cos3t condiciones iniciales de Xo=.02 y X´o =0
Determinar la posición y velocidad en cualquier momento.
fe(t)=5cos3t Xo=.02 X´o=0
5” + 20x = 5cos3t
Xp(t)= Acos3t + Bsen3t
Xp´(t)= -3Acos3t + 3Bsen3t
Xp”(t)= -9Acos3t - 9Bsen3t
-45Acos3t – 45Bsen3t + 20Acos3t + 20Bsen3t= 5cos3t
-25Acos3t – 25Bsen3t = 5cos3t
-25Bsen3t = 0
A= (-5cos3t)/-25cos3t
A= -1/5 B=0
Xp(t)= -1/5 cos 3t C1= 1/5 +.02 = .22
Xo=C1cos2t + C2sen2t -1/5 cos3t C2 = 0
X(t)= .22 sen2t – 1/5 cos 3t
X´(t)= .44cos 2t – 3/5 sen 3t
...