DISTRIBUCIONES CONTINUAS. Función de Probabilidad

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Función de Probabilidad [P(x)]: es una regla (relación matemática) que asigna probabilidades a los valores de la variable aleatoria continua, en un intervalo [a,b]. Es Función de Probabilidad, si cumple con las condiciones de:

a)  0 ≤ P(xi) ≤ 1

b)   [pic 1]

La Función de densidad de probabilidad es una función que permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria continua se encuentre en un cierto intervalo [a,b].

P(a ≤ x ≤ b) =     donde P(x) es la función de distribución de probabilidad.[pic 2]

Esperanza, varianza, Desviación estándar:

I.  [pic 3]

II.  [pic 4]

III. σ = [pic 5]

Ejemplo de una distribución de probabilidad continúa

DISTRIBUCIÓN UNIFORME U(a,b); La distribución uniforme es útil para describir una variable aleatoria con probabilidad constante (equiprobables) sobre el intervalo [a,b] en el que está definida.

[pic 6]

Función de Probabilidad:      [pic 7]

[pic 8]

Función de densidad:  

[pic 9]

Esperanza y Varianza:

μ = [pic 10]

σ2 = [pic 11]

Ejercitación:

Ejercicio1: En una distribución uniforme continua con parámetros a=0 y b=3, la Media y la Desviación Típica es:                                          R: 1,5; 0,866

Ejercicio2: Suponga una variable que se distribuye uniformemente entre 380 y 1200. Determine la probabilidad de obtener un número mayor o igual que 1000, la esperanza y varianza.   R:0,2439; 790; 56033.

Ejercicio 3: El tiempo que tarda un camión de exportación para entregar la mercancía de un destino A a un destino B y viceversa, está distribuido uniformemente en un  intervalo de 2 a 3,5 hrs. Hallar la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 2,8hrs. R:46,67%

Ejercicio 4: Sea X una línea cuyos valores se apegan a una distribución uniforme. Se elige un punto al azar sobre el segmento de la línea [0,2]. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto elegido se encuentre entre 1 y 1.5?       R:0,25

Ejercicio 5: La cantidad de refresco que se despacha en un vaso es una variable aleatoria que se distribuye en forma uniforme entre [130, 160] mililitros. Calcular la probabilidad de que un vaso contenga a lo más 140 mililitros.     R:1/3

Ejercicio 6: Se sabe que el peso X de ciertos bloques de acero, es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas. Encontrar:

a) La función de densidad de la variable.

b) La probabilidad de que si se pesa un bloque seleccionado al azar pese cuando menos 62 toneladas.                                     R: 1/20;0,4

Ejercicio 7: Suponga que la variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el intervalo [-a, a]. Determinar el valor de a de modo que se satisfaga que P(x > 1) = 1/3.  R: 3

Ejercicio 8: Suponga que X está distribuida uniformemente en el intervalo [2, 8].

a) Calcular P(2 ≤ x ≤7)

b) Determinar el valor de la constante k, de modo que: P(X > k) = 0.30    R:1/6;6,2

Ejercicio 9: Se sabe que los tiempos en que se realiza un experimento se distribuyen en forma uniforme y están entre cero y tres minutos.

a) Calcular la probabilidad de que el tiempo en que se realiza un experimento esté entre 1.5 y 3 minutos.

b) Si se realizan 5 experimentos ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos se realicen en un tiempo de entre 1.5 y 3 minutos?                   R:0,5; 0,3125

DISTRIBUCIÓN NORMAL  N(μ,σ)

La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución normal.[pic 12]

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