DOCUMENTO 2: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

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DOCUMENTO 2: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Cuando deseamos resolver problemas de Estadística Descriptiva e Inferencial II para variables

continuas tenemos que contestar una pregunta importante: ¿la población a estudiar se distribuye

en forma normal o no?

En otros términos, ¿la forma de la curva de frecuencias sigue el “patrón” de la campana de

Gauss?

En la respuesta está parte de la solución. Si los datos se distribuyen en forma normal el tamaño

de muestra puede ser pequeño (n < 30) o grande (n ≥ 30) -empleándose en el primer caso una

distribución especial llamada t de Student para el cálculo de probabilidades-; pero si la

distribución no es normal o aproximadamente normal, ¿qué debemos hacer para resolver un

problema?

La respuesta a la pregunta la da el Teorema del Límite Central o Teorema Central del

Límite como también se le llama. Este teorema es tal vez el más importante de la Estadística

Inferencial y nos asegura simplemente que:

“La distribución de muestreo de la media se aproxima a la (distribución) normal al incrementarse

el tamaño de la muestra”1.

Los autores del libro citado al pie complementan la información con lo siguiente: “Los estadísticos

utilizan la distribución normal como una aproximación a la distribución de muestreo siempre que

el tamaño de muestra sea de al menos 30, pero la distribución de muestreo puede ser casi

normal con muestras de incluso la mitad de ese tamaño. La importancia del teorema del

límite central es que nos permite usar estadísticos de muestra para hacer inferencias

con respecto a los parámetros de población sin saber nada sobre la forma de la

distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de esa

muestra”2.

Por otra parte, en su libro “Introducción a la Estadística”3 los profesores Arnold Naiman, Robert

Rosenfeld y Gene Zirkel nos dan un enfoque más amplio de este teorema en la forma siguiente:

“En muchas circunstancias, la distribución de las medias de gran cantidad de muestras tomadas

de una población tiene, en teoría, tres características:

1. La forma es normal.

2. La media μm es igual a la media de la población original,

μm = μpop

3. La desviación estándar es más pequeña que la correspondiente a la población original. Lo

pequeña que sea depende del tamaño de la muestra.

n

pop

m



 

1 Levin, Richard I. y Rubin, David S. Estadística para Administradores. Editorial Pearson, 6ª. Edición, pp. 338.

2 Idem.

3 Naiman, Arnold, et all. Entendiendo Estadística. Editorial McGraw Hill, México 1988, pp.38.

2

La exactitud con que se cumple el teorema en una aplicación particular depende principalmente

de dos factores:

1. El tamaño n de cada una de las muestras. En teoría, cuando más grande es una muestra

más cercana se encuentra la distribución de una distribución normal. Para muchas aplicaciones

una muestra cuyo tamaño es mayor que 30, llevará a una distribución de medias muy cercana a

la normal, de manera tal que los cálculos basados en valores correspondientes a una distribución

normal proporcionarán resultados favorables.

2. La “forma” de la distribución original. Si la distribución de la población es muy parecida a

la normal, entonces pueden utilizarse muestras de menor tamaño y esperar que las medias

muestrales tengan, en forma aproximada, una distribución normal. En muchas aplicaciones

estadísticas, las poblaciones son de tal naturaleza que se puede suponer que el teorema se

verifica.

Finalmente, en el texto “Estadística Descriptiva e Inferencial II”4, del matemático Víctor Sánchez

se establece el Teorema del Límite Central en los siguientes términos:

“Si se extraen todas las posibles muestras de igual tamaño(n) de una población dada que tiene

media μpop y desviación típica σpop, el Teorema del Límite Central indica que:

La distribución de las medias muestrales μm se distribuye aproximadamente en forma normal con

media μpop y su desviación estándar será más pequeña que la desviación estándar de la

población de acuerdo al valor σpop/ n , siempre y cuando el tamaño de muestra sea muy

grande.

Esta última aclaración es importante. Si se sospecha que la distribución de las muestras no es

normal, se toma a n muy grande (generalmente mayor que 30); pero si es normal, no importa el

tamaño de n. Entonces, concluyendo, el Teorema del Límite Central indica que:

a) La media de las muestras es igual a la media de la población

μm = μpop

b) Si la distribución muestral no es normal, basta tomar a n > 30 para que se considere

aproximadamente normal

n

pop

m



  ”

A continuación se demuestra este importante teorema con una población de cinco elementos.

4 Sánchez, Victor. Estadística Descriptiva e Inferencial II. México, pp.123.

3

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

PARA MUESTREOS CON REEMPLAZO

Sea Ω5 una población de N = 5 elementos como se muestra a continuación:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5

Calculemos sus parámetros poblacionales6:

3

5

15

5

1 2 3 4 5

 

   

 

2

5

10

5

4 1 1 4

5

( 2) ( 1) 0 (1) (2)

5

(1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2  

  



     



        

 

  2

El número de muestras diferentes que podemos seleccionar con reemplazo de la población antes

citada puede ser calculado con la siguiente expresión:

# de M = Nn (N es el tamaño de la población y n es el tamaño de muestra)

Empleando la fórmula anterior obtenemos de nuestro problema que el número de muestras que

podemos seleccionar es:

# de M = 52 = 25

Estas 25 muestras y sus medias respectivas se calculan a continuación:

3.5

2

7

2

2 5

(2,5)

3;

2

6

2

2 4

2.5; (2,4)

2

5

2

2 3

2; (2,3)

...