TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Enunciado formal del teorema del límite central: “S i en cualquier población se seleccionan muestras de un tamaño específico. La distribución muestral de las medias de muestras es aproximadamente una distribución normal. Esta aproximación mejora con muestras de mayor tamaño.

Esta es una de las conclusiones más útiles en estadística, pues nos permite razonar sobre la distribución muestral de las medias de muestras sin cortar con información alguna sobre la forma de la distribución original de la que se toma la muestra. De acuerdo con el teorema del límite central, es válido aproximar la distribución de probabilidad normal a cualquier distribución de valores medios muestrales, siempre y cuando se trate de una muestra suficientemente grande.

El teorema central del límite o teorema del límite central se aplica a la distribución muestral de las medias de muestras que veremos a continuación y permite utilizar la distribución de probabilidad normal para crear intervalos de confianza.

Si es una muestra aleatoria de una población con valor esperado y varianza finitas, considerando la variable aleatoria.

Entonces la sucesión de variables aleatorias converge en distribución a una variable aleatoria con distribución Normal Estándar.

Es decir

.

Esto se debe en gran parte a la convergencia en distribución de la suma de un número creciente de variables aleatorias al modelo Gaussiano. Algunos teoremas derivados de este son los siguientes

Teorema 2

Si es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal de valor esperado y varianza , entonces

.

Teorema 3

Si es una sucesión de variables aleatorias independientes tales que , entonces

.

Corolario

Cuando una sucesión de variables aleatorias constituyen una muestra aleatoria de una población con distribución Normal, de valor esperado y varianza , entonces

.

Teorema 4

Si es una muestra aleatoria de una población Normal de valor esperado y varianza , entonces

.

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