Definiciones De Error

Definiciones de error

Seguimos con la definición de:

Valor verdadero = aproximación + error

Reordenando esto se tiene que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Et = valor verdadero – aproximación

Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. Un defecto de esta definición es que no se toma en cuenta el orden de la magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en:

Error relativo fraccional = (error verdadero)/(valor verdadero)

El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como:

εt= (error verdadero)/(valor verdadero) 100%

Donde εt denota el error relativo porcentual verdadero.

Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9,999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, calcúlese a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero de cada caso.

a) El error en la medición del puente es

Et = 10,000 - 9,999 = 1 cm

y para el remache es de

Et = 10 - 9 = 1 cm

b) El error relativo porcentual para el puente es

εt = 1/10000 100% = 0.01%

y para el remache es de

εt = 1/10 100% = 10%

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medición del puente, mientras que la medición para el remache deja mucho que desear.

Obsérvese que ambas ecuaciones tienen subíndice t que significa la normalización del error al valor verdadero. Sin embargo, en las situaciones reales es difícil contar con tal información. Para los métodos numéricos, el valor verdadero solo se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales no se conoce la respuesta verdadera a priori.

En estos casos, normalizar el error es una alternativa, usando la mejor estimación posible del valor verdadero; esto es:

εa= (error aproximado)/(valor aproximado) 100%

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados. En tales métodos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces o de forma iterativa para calcular en forma sucesiva mas y mejores aproximaciones. En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual esta dado por

εa= (aproximación actual-aproximación anterior)/(aproximación actual) 100%

A menudo cuando se realizan cálculos puede no importar mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada εs. En tales casos, los cálculos se repiten hasta que:

|εa| < εs

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido esta en dentro del nivel aceptable fijado previamente por εs. Se puede demostrar que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridad que el resultado es correcto al menos n cifras significativas.

εs = (0.5 x 102-n)%

Ejemplo:

En matemáticas a menudo se puede representar las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo, la función exponencial se puede calcular usando

e^x= 1+x+x^2/2+x^3/3!+⋯+x^n/n!

Mientras mas términos se le agregue a la serie, la aproximación se acercara cada vez más al valor de e x. A la ecuación se le llama expansión por serie de Maclaurin.

Empezando con el primer termino e x = 1 y agregando un término a la vez, estímese el valor de e0.5. Después que se agregue cada término, calcúlense los errores relativos porcentuales real y aproximado. Obsérvese que el valor real es e0.5 = 1 648721... Agréguense términos hasta que el valor absoluto del error aproximado εa sea menor al criterio preestablecido εs que cumpla tres cifras significativas.

Solución. En primer lugar la ecuación εs = (0.5 x 102-n)% se puede emplear para determinar el criterio de error que asegura un resultado correcto en al menos tres cifras

εs = (0.5 X 102 -3 )% = 0.05%

Por lo tanto, se agregaran términos a la serie hasta que εa sea menor que este nivel. La primera estimación es igual a la ecuación

e^x= 1+x+x^2/2+x^3/3!+⋯+x^n/n! con un solo término. Por lo tanto, la primera estimación es igual a 1. La segunda estimación se obtiene agregando el segundo término como sigue:

e x = 1 + x

y para x = 0.5,

e0.5 = 1 + 0.5 = 1.5

Esto representa el error relativo verdadero porcentual

εt = (1.648721-1.5)/1.648721 100% = 9.02%

La utilizando la ecuación del error relativo porcentual, se determina una estimación aproximada del error, dado por:

εa = (1.5-1)/1.5 100% = 33.3%

Ya que εa no es menor que el valor prefijado εs, los cálculos continúan agregando otro término, x^2/2! y repitiendo los cálculos de errores. El proceso continua hasta que εa < εs. Todos los cálculos se pueden resumir de la siguiente manera

Términos Resultado εt εa

1 1 39.3

2 1.5 9.02 33.3

3 1.625 1.44 7.69

4 1 .645833333 0.175 1.27

5 1 .648437500 0.0172 0.158

6 1.648697917 0.00142 0.0158

Así, después de que los seis términos se incluyen, el error estimado baja de εs = 0.05%, y el cálculo termina. Sin embargo, obsérvese que en vez de tres cifras significativas, el resultado se mejora al llegar a cinco cifras. Esto se debe a que, para este caso, las ecuaciones son conservativas; esto es, aseguran que los resultados son por lo menos tan buenos como lo especifican.

Series de Taylor:

Teorema de Taylor

Si la función f y sus primeras n + 1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función de x esta dado por:

f(x)= f(a)+ f^' (a)(x-a)+(f^'' (a))/2! (x-a)^2+(f^'''

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