Definición de combinación lineal

Definición de combinación lineal

Dados p vectores V1, V2,.... , Vm en un espacio vectorial V, diremos que otro vector V es combinación lineal de V1, V2,…Vm si existen escalares C1, C2,…..Cm. tales que V pueda expresarse de la siguiente manera:

Se dice que los vectores V1, V2,….Vm generan un espacio vectorial si todo vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de estos vectores.

Teorema: Sean V1,…Vm vectores en un espacio vectorial V. sea U el conjunto que consta de las combinaciones lineales de V1,…Vm. U es un subespacio de V generado por los vectores V1,…Vm.

Demostración: sean

u1 = a1v1 +…+am vm y u2 = b1v1 +…+ bm vm

elementos cualesquiera de U. Así,

u1+ u2 = (a1 v1 + … +am vm) + (b1 v1 +…+ bm vm)

=(a1 + b1)v1 +… +( am+ bm)vm

u1+u2 es una combinación lineal de v1,….vm. Entonces u1+u2 se encuentra en U,U es cerrado bajo la adición vectorial.

Sea c un escalar cualquiera. De esta manera,

Cu1 = c(a1v1 + … + amvm) = ca1v1 +….+camvm

Observa que, en particular, como cualesquiera que sean a 1 , a 2 , ... , a p Î V:

0 = 0.a1 + 0.a2 + ... + 0.ap

el vector nulo es combinación lineal de cualesquiera otros

Ejemplo

Expresa el vector m= (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: U= (1, 0, 1), V= (1, 1, 0) y W= (0, 1, 1).

m= xu + yv + zw x +y =1 2x+2y+2z=6

(1,2,3) =x(1,0,1)+y(1,1,0)+z(0,1,1) y + z =2 x + y + z = 3

(1,2,3) =x(x+y,y+z,x+z) x + z =3

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

x + y + z = 3 x + y + z = 3 x + y + z = 3

x +y =1 y + z =2 x + z =3

z=2 x=1 y=0

m = u +2w

.

Definición de Independencia lineal

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Vectores_independientes.png

Se dice que una familia {a1 , a2 , ... , ap } de vectores es libre, o que los vectores que la forman son linealmente independientes, si la .nica combinación lineal de ellos que es igual al vector nulo es aquella en la que todos los coeficientes son iguales a cero. O sea, si:

Propiedades de independencia lineal:

• Son independientes si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.

• Si son linealmente independiente cualquier subconjunto también lo es.

• Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.

Ejemplos

Considera, en (R2 , +, .), los vectores a1 = (2, 0), a2 = (1, 3).

Supón que se tuviera a1.a1 + a2.a2 = 0. a qué conclusión llegaras respecto a los valores que habrán de tomar a1 y a2 ?

Toma ahora a1 = (2, 4), a2 = (1, 2).

Si de nuevo se tuviera a1.a1 + a2.a2 = 0, llegaras a la misma conclusión que antes respecto a a1 y a2 o, por el contrario, ya no será necesario que ambos coeficientes fueran iguales a cero? Qué. sucederá si, por ejemplo, tomaras a1 =1, a2 = -2 ?

Teorema Sea V un espacio vectorial, cualquier conjunto de vectores que contengan al vector cero es linealmente dependiente.

Demostración consiste en el conjunto (0, V2,….Vm) que contiene el vector cero. Analice la identidad.

c1 0+c2v2 + ….+cmvm=0

vea que la identidad es verdadera para c1 = 1, c2=0,….cm=0 por consiguiente el conjunto de vectores es linealmente independiente, lo uqe demuestra el teorema.

Base ortonormal:

La base ortonormal proviene de una base ortogonal y esta la obtenemos a través del producto escalar así que dos vectores

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