Derivacion de Seno

Demostración de Por qué la derivada del Seno= Coseno

Para conocer porque la derivada de seno es igual a coseno, para esto debemos proceder a hacer la verificación con límites. Tomaremos como base F(x)= Sen x. Entonces procedemos a realizar esta demostración:

1. Remplazar los valores con Δx:

F’(x)= Lim  [pic 2][pic 1]

Procedemos a remplazar los valores en dicha ecuación:

F’(x)= Lim  [pic 4][pic 3]

1. No podemos remplazar aún la Δx ya que si lo haríamos crearemos una determinación ya que el denominador será 0. Para que esto no suceda debemos manipular un poco esta operación.
2. Como en dicha operación podemos resolver  , podemos tener en cuenta una propiedad de Seno que nos indica que: Sen(a+b) = Sen a. Cos b + Cos a. Sen b.[pic 6][pic 5]
3. En donde x = a y  Δx = b.
4. Entonces remplazamos:

F’(x)= Lim  [pic 8][pic 7]

1. Nos fijamos que podemos agrupar términos:

F’(x)= Lim   + [pic 11][pic 9][pic 10]

1. Luego nos fijamos de los términos semejantes que existen, entonces procedemos a factorizar:

F’(x)= Lim  Sen x  + Cos x [pic 14][pic 12][pic 13]

1. Antes de proceder a realizar los siguientes pasos debemos tener en cuenta que existen Teoremas para seno y coseno al trabajar con límites, los cuales son:

Lim     =   = 1             Lim     =   = 0[pic 17][pic 18][pic 19][pic 15][pic 16]

1. Si nos fijamos en nuestro proceso anterior podemos aplicar los dos teoremas entonces quedaría de la siguiente forma:

F’(x)= Lim  Sen x  + Cos x [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 20][pic 21]

1. Ya remplazando los valores nos quedaría:

Sen x * (0) + Cos x * (1)

1. Entonces esto nos dará como  resultado:

= Cos x -> Derivada de Seno

EJERCICIO PARA EXPLICAR

Debemos observar la operación principal y con esto aplicaremos la respectiva regla para derivar. Las constantes que se encuentran a los lados de las Funciones trigonométricas, se pueden omitir hasta el final para multiplicarlo con la derivada de la variable.[pic 27]

Y = [pic 28]

Y= (sen 3x)1/2 

Y’=  (sen 3x) -1/2 . (sen 3x) [pic 29]

Y’=  (sen2x) -1/2. (cos 3x)(3)[pic 30]

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