Determinación de la gravedad de un péndulo mediante análisis estadístico y mediciones indirectas

Introducción

El objetivo del trabajo es determinar mediante análisis estadístico el valor de la aceleración gravitatoria así como observar y analizar la distribución de datos en un histograma. Para esto se midió 200 veces el tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa con el fin de obtener datos estadísticos del movimiento. Para poder obtener la información necesaria para poder determinar el valor de la aceleración gravitatoria y su error se utilizó la ecuación del periodo de un péndulo (ecuación 1) para despejar una ecuación de la aceleración gravitatoria (ecuación 2). En dichas ecuaciones T representa el periodo, L la longitud del hilo del péndulo, y g la aceleración gravitatoria.

[pic 1]

Ecuación 1: ecuación del periodo de un péndulo.

[pic 2]

Ecuación 2: ecuación de la aceleración gravitatoria obtenida de la ecuación 1.

Luego se utilizó la ecuación de propagación de errores para mediciones indirectas (ecuación 3) para determinar el error de la aceleración gravitatoria. En esta ecuación deltaT y deltaL representan el error del periodo y la longitud del hilo respectivamente. Tbarra y Lbarra representan el promedio de los periodos y de la longitud del hilo respectivamente. g(barra) representa el promedio de aceleración gravitatoria, calculado a partir de la ecuación 2 utilizando los promedios de T y de L. El numero pi no es incluido en el cálculo ya que a pesar de poseer error por redondeo, la última cifra que aparece en la calculadora es mucho menor a los valores obtenidos para las otras magnitudes, por lo tanto se considera al error en pi despreciable y al número pi como una constante.

[pic 3]

Ecuación 3: ecuación de propagación de errores para mediciones indirectas utilizando como base una ecuación de la forma de la ecuación 2.

Para poder obtener el valor de deltaT se utilizó la ecuación del error de medición (ecuación 4) donde deltaX representa a deltaT

[pic 4]

Ecuación 4: ecuación del error de medición.

Para obtener el valor de EIns y de EEst se utilizaron la ecuación para calcular el error instrumental (ecuación 5) donde Ap es la mínima división de apreciación del instrumento utilizado (en este caso, el cronometro), y la ecuación para calcular el error estándar (ecuación 6) donde sigma es la desviación estándar de las mediciones y N es el número de mediciones realizadas.

[pic 5]

Ecuación 5: ecuación del error instrumental.

[pic 6]

Ecuación 6: ecuación del error estándar

Procedimiento experimental:

Para realizar las mediciones se utilizó un simulador configurado para realizar el experimento con un cable de 0,5 m con una masa en el extremo del cable de 1 kg. Al ser realizado en un simulador se establecieron condiciones ideales por lo que el rozamiento del aire fue fijado en 0. La posición de inicio del péndulo permitió que el ángulo formado entre el cable y la vertical sea de 20° tal como se observa en la Figura 1.

[pic 7]

Figura 1: Disposición inicial del péndulo para cada medición.

El instrumento utilizado para realizar las mediciones fue un cronometro de celular, cuyo mínimo valor observable es 0,01 segundos.

Al momento de realizar las mediciones se inicia la simulación y se cronometra el tiempo que toma el péndulo en realizar una oscilación completa, una vez alcanzada la posición inicial se detiene el cronometro y la simulación y se registra el tiempo marcado. Este proceso se repite hasta tomar 200 muestras. Los resultado de las muestras fueron colocadas en una lista en Origin.

Se utilizó Origin para poder obtener la desviación estándar y el promedio de las muestras. Con los datos obtenidos se utilizó la Ecuación 2 para obtener el promedio de la aceleración gravitatoria, la Ecuación 5 para obtener el error instrumental, la Ecuación 6 para obtener el error estándar, y se volcaron los resultados de la Ecuación 5 y la Ecuación 6 en la Ecuación 4 para obtener el error en el periodo. Con estos cálculos realizados, se utilizaron los resultados de la Ecuación 2 y la Ecuación 4 en la Ecuación 3.

Luego se tomaron de la lista de 200 mediciones, las primeras 100 y 20 mediciones para obtener 3 listas distintas. A partir de estas listas se obtuvieron los promedios, los desvíos estándar y se armaron 3 histogramas sobre los cuales se graficó su campana de Gauss para poder comparar como la cantidad de mediciones modifica la similitud entre el histograma con la campana de Gauss.

Por último, se tomaron las 200 mediciones y se dividieron en 10 grupos de 20 mediciones cada uno con el fin de simular 10 repeticiones de un experimento. Se calculó usando Origin el promedio y la desviación estándar de cada experimento, para luego calcular el promedio y la desviación estándar de los promedios. Con los resultados obtenidos se comparó la desviación estándar de los experimento con la de los promedios.

Resultados:

Los datos obtenidos dieron como resultado que el promedio del periodo de las 200 mediciones fue de 1,4056 segundos y la desviación estándar resulto ser 0,05746. El error calculado a partir de la Ecuación 4 fue de 0,006 segundos. El promedio de la longitud del cable es de 0,5 m y al haberse utilizado una simulación la longitud siempre fue la misma por lo que el error es 0. Con los promedios obtenidos del periodo y la longitud se calculó con la Ecuación 2 que el promedio de aceleración gravitatoria es igual a 9,99 m/s2 y al utilizar la Ecuación 3 el error de la aceleración gravitatoria dio como resultado 0,08.

Resumiendo:

• L = 0,5 m
• σ = 0,5746
• T = 1,406 +- 0,006 s
• g = 9,99 +- 0,08 m/s2

El valor de aceleración gravitatoria difiere del valor teórico propuesto por Sears y Zemansky de 9,8 m/s2. El principal punto que podría causar esta diferencia se debe al error humano presente al momento de tomar las mediciones ya que al realizarse el movimiento oscilatorio en condiciones ideales, todas las mediciones deberían tener el mismo periodo y no fue lo ocurrido. A su vez, el eliminar el efecto del rozamiento con el aire se modifican las condiciones ambientales que se encuentran en la realidad lo que también provoca cambios en el resultado.

...