Determinar el saldo

Residuo:

Se denomina Residuo de una función en un punto z0, y lo representamos por Resf(z0), a la magnitud

Donde R > 0 es tan pequeño como queramos. El cálculo del residuo en un punto involucra el cálculo de una integral a lo largo de un circuito cerrado que rodea al punto seguida de un límite R → 0.

Si el punto z0 es un punto regular de f(z) su residuo en z0 es nulo. Para el cálculo del residuo de una función en el punto del infinito se define mediante:

Cálculo del residuo

Si suponemos que una función tiene un polo simple en z=a podemos calcular el residuo mediante la fórmula

Porque , donde g(z) es analítica en a, luego

cuando .

Si el polo en a es un polo doble de suerte que

donde g(z) es analítica en a , entonces naturalmente el límite de ya no existe. Para determinar c-1 en este caso observamos que

luego

cuando .

Por consiguiente, el residuo está dado ahora por la fórmula

``Alternativamente, primero podemos determinar y después calcular el residuo del polo simple en a de ''.

Análogamente, si tiene un polo de orden n en a, el residuo es

Teorema de los Residuos

Si una función f(z), analítica en una región R salvo tal vez en un conjunto finito de puntos singulares

zi, i = 1,…….,k, entonces si C es un circuito cerrado contenido en R y que encierra a los anteriores

k puntos singulares, se tiene que

Si el punto z0 es un polo simple, entonces

Si el punto z0 es un polo de orden n, entonces

Ejemplo: Determine el residuo de

en cada uno de los polos en el plano finito z y luego calcule la integral

Solución:

Factorizando el denominador tenemos

así que f(z)tiene polos simples en z=0; z=1

Ahora se obtienen los residuos usando la ecuación

Residuo en z=0

Residuo en z=1

Ahora para calcular la integral

se utiliza

entonces:

...