Distribucion Geometrica

DISTRIBUCION GEOMETRICA

La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en las que se repiten pruebas hasta la consecuencia del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera. También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.

Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernoulli en el que tengamos las siguientes características:

• El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).

• Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A.

• La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q, siendo (p + q = 1)

Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto, las pruebas, son independientes (si se trata de un proceso “extracción” este se llevara a cabo con devolución del individuo extraido)

Derivación de la distribución: si en estas circunstancias aleatorizados de forma que tenemos como variable aleatoria X = el numero de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A, esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.

De lo dicho anteriormente, tendremos que la variable X es el numero de pruebas necesarias para la consecuencia del primer éxito. De esta forma la variables aleatorias toma valores enteros a partir del uno: (1,2,…)

La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en la X-sima prueba. Esto es, P(x) será la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados “no A” y un éxito o resultado A en la prueba numero X teniendo en cuenta que todas las pruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades.

Modelo matemático:

De este modo tenemos que la ley de probabilidades de X es

OBSERVACION:

Es sencillo comprobar que realmente f es una ley de probabilidad, es decir. Para ello basta observar que la sucesión es una progresión geométrica de razón q, a la que podemos aplicar su fórmula de sumación.

En la distribución geométrica del conjunto de posibles valores que puede tomar la variable, es infinito numerable, mientras que en la de Bernoulli y en la binomial, estos eran un numero infinito.

La función característica se calcula teniendo en cuenta que de nuevo aparece la sumación de los términos de una progresión geométrica.

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