Distribucion Geometrica

La distribución geométrica

Es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera. También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí. Proceso experimental del que se puede hacer derivar

Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que tengamos las siguientes características

• El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).

• Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A

• La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q siendo (p + q = 1).

Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto, las pruebas, son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a, cabo con devolución del individuo extraído).

(Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A, esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.

Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad representa el número de repeticiones necesarias de un experimento de Bernoulli para obtener el primer éxito, entonces tiene por función de densidad: X-1

P (x=x) = función de densidad, de la variable aleatoria con distribución geométrica.

X Numero de experimentos hasta que aparece el 1er éxito.

p probabilidad de éxito

q probabilidad de fracaso (1 - p)

Ejemplo:

Del salón el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.

Definir éxito: sea hombre. x = 4 p = 0.60 q = 0.40

Ejemplo: 2 Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un dado.

Definir éxito: sale No. 5

x = 3 p = 1/6 = 0. 1666 q = (1 - 0.16660) = 0.8333 P(X=3) = (0.8333)2(0.1666) =0.1156

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

Para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es

Para x = 0, 1, 2, 3,....

En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.

El valor esperado de una variable

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