Distribuciones De Probabilidad De Interes En Geología

INTRODUCCIÓN

La planeación y el diseño de proyectos relacionados con el agua necesitan información de diferentes eventos hidrológicos que no son gobernados por leyes físicas y químicas conocidas, sino por las leyes de azar. Por ejemplo, el caudal de un río varía día a día y año tras año, y no puede predecirse exactamente cuál será su valor en un período de tiempo cualquiera. En el caso del diseño de un puente, el estudio hidrológico determinaría la creciente asociada con una probabilidad crítica (se busca determinar el caso crítico), la cual se supone representa el riesgo para el puente. Esto solo puede determinarse a través del análisis probabilístico y estadístico basado en los registros hidrológicos del pasado.

Es dable afirmar que la hidrología, en algunos casos, trata con variables aleatorias cuyo comportamiento no puede predecirse con certidumbre. El comportamiento de una variable aleatoria está descrito por una ley de probabilidades, la cual asigna medidas de probabilidad a posibles valores o rangos de ocurrencia de la variable aleatoria. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

Se dice que una variable aleatoria es discreta si ella sólo puede tomar valores específicos. Por ejemplo, si N denota el número de días lluviosos en el mes de diciembre, entonces N es una variable aleatoria discreta. En este caso, la ley de probabilidades asocia medidas de probabilidad a cada posible ocurrencia de la variable aleatoria.

Una variable aleatoria es continua si puede tomar todos los valores en un rango de ocurrencia. Por ejemplo, si Q es una variable aleatoria que denota el valor de los caudales promedios diarios del río Magdalena, entonces Q puede asumir cualquier valor y es entonces una variable aleatoria continua

En este caso la ley de probabilidades asigna medidas de probabilidad a rangos de ocurrencia de la variable aleatoria.

En el análisis probabilístico y estadístico en hidrología, se asume que la información histórica disponible de una variable hidrológica representa una muestra tomada de una población cuyas características se desconocen. En el análisis probabilístico se analizan posibles leyes de probabilidad que pueden describir el comportamiento de las variables de la población. En el análisis estadístico, se hacen inferencias sobre la variable (la población), usando la muestra. Por ejemplo, cuando se calcula una media con observaciones disponibles, se está infiriendo que la media calculada es la media de la población, lo cual no necesariamente es verdad, pues esto dependerá de la calidad de la información, del número de observaciones y otros aspectos.

El hecho es que muchos fenómenos hidrológicos son erráticos, complejos y de naturaleza aleatoria, y solo pueden ser interpretados en un sentido probabilístico. Uno de los problemas más importantes en hidrología es la interpretación de registros de eventos pasados para inferir la ley de probabilidades de la variable hidrológica (población) de interés, procedimiento que en hidrología se conoce con el nombre de análisis de frecuencia.

Por ejemplo supóngase que se tienen registros del caudal del río Magdalena durante un período de 50 años. Son factibles dos tipos de análisis: descriptivo y de inferencia. El primero se realiza sin ninguna referencia a su población, de la cual se tiene una muestra de 50 años. Consiste, básicamente, en calcular propiedades estadísticas, como media, varianza y otras. En el segundo, la muestra se analiza para inferir las propiedades de su población, lo cual ayudará a derivar las características probabilísticas del caudal. El primero es una aplicación de los métodos estadísticos que requieren poca decisión y poco riesgo. El segundo involucra riesgos y requiere una total comprensión de los métodos empleados y el peligro involucrado en la predicción y estimación de las variables.

Los objetivos básicos de la estadística en la hidrología son entre otros:

1) Interpretación de las observaciones

2) Análisis de la calidad de la información

3) Inferencia sobre el comportamiento de la variable

4) Extracción del máximo de información de los registros

5) Presentación de la información en gráficas, tablas, ecuaciones, que básicamente ayudan a la toma de decisiones en el planeamiento de los recursos hídricos.

En resumen, el objetivo principal de la estadística en hidrología es obtener información de los fenómenos hidrológicos pasados y hacer inferencias acerca de su comportamiento en el futuro.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE INTERÉS EN HIDROLOGÍA

El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor específico de ella por minúscula.

Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a £ x £ b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a, b). Si conocemos la probabilidad P(a £ x £ b) para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x.

Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X £ x):

F(x)= P(X £ x):

Y llamamos F(x) la función de distribución acumulada.

Ejemplo

Se tienen las probabilidades de que haya 1, 2, 3,... etc., días nublados por semana en un determinado lugar, con ellos calcule la distribución de probabilidades

Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta el histograma de 85 años de registro de caudales de crecientes (máximos instantáneos) en el río Magdalena, agrupados en 9 intervalos de clase.

Cuando el número de observaciones se incrementa, el tamaño de los intervalos decrece y se puede tener algo sí

Donde f(x) es la llamada función de densidad de probabilidades y tiene las siguientes características

I.

II.

III.

Lo que implica que las probabilidades se definen sólo como ÁREAS bajo la función de densidad de probabilidad (FDP) entre límites finitos.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Los estadísticos extraen información de una muestra, indicando las características de la población. Los principales estadísticos son los momentos de primer, segundo y tercer orden correspondiente a la media, varianza, y asimetría respectivamente.

Media m:

Es el valor esperado de la variable misma. Primer momento

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