EJERCICIO DE APLICACIÓN DE CÁLCULO VECTORIAL EN INGENIERA

EJERCICIO DE APLICACIÓN DE CÁLCULO VECTORIAL EN INGENIERA

“OPTIMIZACION DE RECURSOS EN UNA EMPRESA”

Una fábrica requiere un recipiente para envasar uno de sus productos, el cual se debe empacar 216 centímetros cúbicos, la empresa encargada de construir el envase debe hallar las dimensiones adecuadas de tal manera que el material utilizado sea mínimo y no se presenten desperdicios

El empaque será en forma de lata        

Tenemos la ecuacion del volumen cilindrico                  

^3 ---- Primera ecuacion [pic 1]

[pic 2]

Se debe minimizar el área del envase; tenemos dos tapas, un radio

[pic 3]

Tenemos la ecuación del área

A= 2-------Segunda ecuación [pic 4]

Se halla la altura despejando la primera ecuación

          h=   ----- tercera ecuacion [pic 5][pic 6]

Se sustituye h en la segunda ecuacion A= 2  y quedaria [pic 7]

A= 2   simplificamos la ecuación  A (r) = 2+ 432 y derivamos la función se obtiene  A(r)= 4- 432 posteriormente se divide en cuatro y tenemos   y tenemos   con esto concluimos:[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Despejando el radio de la ecuación [pic 17]

           R=[pic 18][pic 19]

Se debe verificar si este radio minimiza el área, esto se determina por medio de la  ecuación antes obtenida    A (r) = 2+ 432  aplicando la segunda derivada [pic 20][pic 21]

A (r) = 4+ 2(432)                                             A (r) = + 864/[pic 26][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

A=     Hallamos un mínimo; respecto al área  [pic 27]

Ahora hay que encontrar a h,

Despejamos  h de la primera ecuación   ^3; Entonces    h= [pic 28][pic 29]

Remplazamos

h =      [pic 30]

Ahora reemplazamos los radios en la segunda ecuación

A (r) =299.9 [pic 31][pic 32]

Y esta es la cantidad de material que debemos utilizar para un tener optimo resultado al momento de fabricar las latas sin desperdicios  

[pic 33]

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