Portafolio de ejercicios de superficies - Calculo vectorial

Cálculo vectorial: Portafolio de ejercicios Quiz II - Corte I El siguiente es una lista de ejercicios que servirán como preparación para el quiz sobre Superficies. 1. Hallar las ecuaciones canónicas de la esfera con las siguientes condiciones. Realice un bosquejo. a) La esfera que en un diámetro tiene puntos terminales (2, 1, 4) y (4, 3, 10). b) La esfera que pasa por el punto (2, 1, −2) y tiene centro en (2, 7, 2). c) La esfera más grande con centro (2, 5, 3) que está contenida en el primer octante.

2. Una elipsoide corta al eje x en los puntos (2, 0, 0) y (−2, 0, 0), al eje y en los puntos (0, 3, 0) y (0, −3, 0) y al eje z en los puntos (0, 0, 4) y (0, 0, −4). Hallar la ecuación de la elipsoide y obtenga sus trazas. Realice un bosquejo mostrando sus trazas.

3. Encuentre la intersección de las siguientes superficies con los planos xy, yz y xz. Identifique y realice un bosquejo de cada superficie.

a) x = y2 16 + z2 9 . b) 3y2 − 5x2 = 4z2.

c) x = y2 − z2. d) x2

4 + y2 9 + z2 16 = 4.

e) 4x2 − 9y2 + 9z2 = 4 f) 3x2 − y2 − 2z2 = 1.

4. Muestre que la distancia desde un punto (a, b, c) hasta el plano x = d es dada por |a − d|. ¿Cuál es la distancia desde (a, b, c) hasta el plano y = d? ¿Cuál es la distancia desde (a, b, c) hasta el plano z = d?

5. Muestre que el conjunto formado por los puntos cuya distancia al plano x = 1 es igual a la distancia al punto (−1, 0, 0) es un paraboloide elíptico. Realice un bosquejo.

6. Se requiere construir una antena parabólica de 2m de altura, y que el diámetro a esta altura sea de 6m. Hallar una ecuación para la antena. Bosqueje.

7. La intersección de un paraboloide hiperbólico con el plano xy son dos rectas dadas por y = 4 − y2

y = −3 2 x. Su intersección con el plano z = 1 8 es una hiperbola de ecuación x2 del paraboloide. Realice un bosquejo.

8. Un hiperboloide de dos hojas corta al eje x en los puntos (4, 0, 0) y (−4, 0, 0) y su intersección con el plano x = 5 es la elipse y2

36 + z2 9 = 1. Hallar la ecuación de la hiperboloide y realice un bosquejo. 9. La intersección de un cono elíptico con el plano y = 2 es la elipse z2 16 + x2 36 = 1. La intersección con el plano yz son las dos rectas y = z 2 y y = − z 2 . Hallar la ecuación del cono y realice un bosquejo.

10. Se requiere construir una torre de enfriamiento en forma de hiperboloide de una hoja (ver Figura 1). El diámetro mínimo, el cual es una circunferencia que puede ser ubicada en el plano xy de R3, es de 180m. La base es de forma circular con un diámetro de 290m y la altura de la torre es de 600m. Encontrar una ecuación para la torre. Realizar un gráfico de la torre con la ecuación obtenida. Bosqueje.

3 2 x y

9 = 1. Hallar la ecuación

Figura 1. Torre de enfriamiento 11. Describa y bosqueje la superficie cilíndrica:

a) y + z = 1. b) x = y2.

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