Calculo Vectorial

Introduccion a Las Transformaciones Lineales

Introducción a las transformaciones lineales

La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).

En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:

1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala

Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

La teoría de la matriz entra en la teoría de las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:

Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor representada con la multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, será simple representar la matriz correspondiente como .

Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinómico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge.

El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base ortonormal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.

Existen dos espacios fundamentales que están asociados a una transformación lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T.

En un sistema lineal, el número de variables es igual al número de variables libres más el número de variables angulares, quedando una transformación lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) = dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un isomorfismo.

matriz de una transformación lineal

Desde el punto de vista algebraico lineal, las transformaciones más importantes son las aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas son llamadas transformaciones lineales o aplicaciones lineales. Una transformación lineal es una parte esencial en el álgebra lineal. La idea principal detrás de la “Matriz de una transformación lineal” es la definición de la matriz de T con respecto a las bases arbitrarias del dominio de V y el codominio de W. En este caso, V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre F, y T: V → W es una transformación lineal.

Sea V y W espacios vectoriales de finita dimensión sobre F, e imagina que T: V! W es lineal. Fija una base

B = {v1, v2. . . vn}

de V y una base de

B0 = {w1, w2. . . wm}

de W. Ahora definimos la matriz MBB’ (T) de T con respecto a estas bases. Puesto que B0 es una base de W, cada T (vj) puede escribirse únicamente como

T(v j) =

Por lo tanto la matriz de T, en definitiva, con respecto a las bases B y B0 se define como la matriz MBB’ (T) = (cij ) m × n . ¿Lo qué dice esta definición es que la columna jth de la matriz MBB’(T) es el vector columna formado por los coeficientes de T(vj) con respecto a la base B0? Uno puede expresar el término anterior en forma matricial mediante

...