Calculo Vectorial

7.1. PRODUCTO ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO DE VECTORES

Consideremos tres vectores , y . Para ello, introduce y simplifica la expresión siguiente:

[u:=[3, 2, 5], v:=[5, 4, 2], w:=[3, 1, 1]]

Ahora, introduce y simplifica las siguientes expresiones observando el resultado:

uv Producto escalar

CROSS(u, v) Producto vectorial

uCROSS(v, w) Producto mixto

Por comodidad, introduce la siguiente herramienta para calcular el producto mixto:

PM(u, v, w):=uCROSS(v, w)

Vamos a resolver algunos problemas con DERIVE:

Halla x para que el vector (2, 1, x) sea perpendicular al vector (3, 1, 5). Para ello, sigue los siguientes pasos:

–– Define u:=[2, 1, x] y v:=[3, 1, 5].

–– Simplifica la expresión uv.

–– Con el resultado anterior resaltado, pulsa el icono Resolver, , y especifica x como incógnita (al no especificarlo se asume la ecuación con =0).

7.2. PROBLEMAS-TIPO

A continuación se proponen algunos problemas-tipo. Analiza la forma de resolverlos y trata de construir herramientas para resolver automáticamente problemas análogos.

La función MOD devuelve el valor absoluto si se trata de un escalar y el módulo si se trata de un vector. Puede sustituirse por | | (barra vertical situada en la parte superior derecha del teclado).

Ten en cuenta que DERIVE no distingue puntos de vectores, pues en ambos casos considera listas de tres elementos. Dado que el vector de extremos A y B puede obtenerse como B – A, interprétalo como una resta de vectores (de posición) no como una resta de puntos.

Recuerda que el resultado de una distancia, un área o un volumen debe darse en valor absoluto. Un simple cambio de orden en los vectores puede cambiar el signo.

Pero si la distancia, el área, o el volumen es un dato (“halla x para que la distancia... sea 7”), debes considerar los dos signos, pues puede que haya dos soluciones (considera d = 7 y d = –7).

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES. APLICACIONES

Podemos obtenerlo a partir del producto escalar. Introduce la siguiente herramienta para hallarlo automáticamente:

ANG(u, v):=ACOS(uv/(|u||v|)) Lo obtendrás en radianes.

Pulsa ≈ en vez de = si quieres obtener un valor decimal aproximado del ángulo.

Aplícalo a los siguientes pares de vectores:

[u:= [3, 1, 2], v:=[5, -1, 3]] [u:=[1, 0, 0], v:=[5, 5, 0]]

[u:=[3, 3, 3], v:=[7, 7, 7]] [u:=[4, -2, 3], v:=[2, 4, 3]]

[u:=[a, b, c], v:=[-b, a, c]] [u:=[3, -2, 4], v:=[2, 5, 1]]

[u:=[a, b, c], v:=[b, -a, c]]

Halla a para que los vectores (3, 1, 2) y (a, 5, 1) formen un ángulo de 30º. Para ello, introduce y simplifica la expresión ANG(u, v)=30º. El símbolo º puedes obtenerlo en las líneas superiores de la ventana de introducción de expresiones. También puedes escribir 30deg o /6. Resuelve con el icono la ecuación resultante especificando a como incógnita. Pulsa el icono para obtener los valores aproximados. ¿Por qué se obtienen dos valores?

Practica

1. Comprueba los ejercicios resueltos en la página 183 del libro.

2. Resuelve los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 198 del libro.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Introduce la siguiente herramienta y confirma su significado:

DPP(a, b):= |b-a|

Halla la distancia entre los siguientes pares de puntos:

[a:=[4, 5, 1], b:=[1, 1, 1]] [a:=[1, 1, 1], b:=[4, 5, 1]]

[a:=[1,3; 2,1; 3,5], b:=[-1,4; 0; 5;1]] [a:=[32, 47, 5], b:=[32, 47, -7]]

[a:=[0, 0, 0], b:=[-3, 1, 2]] [a:=[x, y, z], b:=[2x, y, 2z]]

Practica

3. Comprueba el ejemplo de la página 184 del libro.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Sea A el punto dado, P un punto cualquiera de la recta y un vector de dirección de esta.

Introduce la siguiente herramienta y confirma su significado:

DPR(A, P, v):=|CROSS(A-P, v)|/|v|

Aplícala con los datos [[a:=[3, 4, 1], p:=[5, -1, 3], v:=[7, 1, 1]].

Halla la distancia del punto A(1, 1, 2) a la recta

Primero debes obtener un punto cualquiera de la recta. Para ello, introduce y resuelve la expresión [x=0, 2x+4y+z=2, 5x+y+3z=-5]. Puedes asignar cualquier otro valor distinto de x = 0 o utilizar y o z.

La solución te proporcionará un punto de la recta, P(0, 1, –2). Ahora ya puedes introducir [a:=[1, 1, 2], p:=[0, 1, -2], v:=CROSS([2, 4, 1], [5, 1, 3])] y aplicar la herramienta DPR(a, p, v).

Otra forma menos eficiente es:

V:=CROSS([2, 4, 1], [5, 1, 3]) es un vector de dirección de la recta.

V([x, y, z]-A)=0 es una ecuación del plano perpendicular a la recta que pasa por el punto A.

Si resuelves el sistema correspondiente, obtendrás el punto de intersección, Q, de la recta y el plano. Para ello, introduce [2x+4y+z=2 , 5x+y+3z=-5, v[x,y,z]-va=0], pulsa el icono Resolver (especifica x, y y z como incógnitas) y obtendrás el punto:

Q(–132/223, 235/223, 230/223)

La distancia pedida será la distancia entre A y Q, DPP(A,Q).

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea P el punto dado y A, B, C y D los coeficientes de la ecuación del plano. Si estos literales tenían asignado algún valor previo, deberías eliminarlos con la siguiente expresión:

[a:=, b:=, c:=, d:=, p:=]

Introduce la siguiente herramienta y confirma su significado:

DPPL(P, A, B, C, D):=|AP¯1+BP¯2+CP¯3+D|/SQRT(A^2+B^2+C^2)

Halla la distancia del punto [3, 2, -1] al plano de ecuación 2x–y+2z–3=0. Para ello basta introducir y simplificar DPPL([3, 2, -1], 2, -1, 2, -3).

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Sean P un punto y un vector de dirección de la primera recta. Sean Q un punto y un vector de dirección de la segunda recta.

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