Calculo Vectorial

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIER˝A MEC`NICA Y ELECTRICA INGENIER˝A EN COMUNICACIONES Y ELECTRNICA ACADEMIA DE MATEM`TICAS C`LCULO VECTORIAL

SOLUCIN AL PRIMER EXAMEN DEPARTAMENTAL 25 DE FEBRERO DEL 2014.

1. Sean a =< 2;3;6 >; b =< 2;1;1 > : (a) (1.0 Punto)Demuestre que a & ( b a) no son ortogonales. Solucin a( b a) = 81242 = 62 6= 0 ! a; ( b a) no son ortogonales (b) (1.0 Punto)Proponga: Comp a b, Proy a b: Solucin Comp a b = b u a =< 2;1;1 > 1 7 < 2;3;6 >= 13 7 : Proy a b =(Comp a b) u a = 13 49 < 2;3;6 > : 2. (a) (1.0 Punto)Encuentre la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(2;1;1); B (1;1;10); C (1;3;4): Solucin ! AC =< 1;2;5 >; ! AB =< 3;2;9 >! n = ! AC ! AB = ^ { ^ | ^ k 1 2 5 3 2 9 =< 28;6;8 > P :< x2;y1;z1 > < 28;6;8 >= 0 P : 28x + 56 + 6y6 + 8z8 = 0 $ P : 14x + 3y + 4z + 21 = 0 (b) (1.0 Punto)Encuentre ecuaciones simØtricas para la recta que pasa por B, y es perpendicular al plano del inciso a. Solucin L : < x;y;z >=< 1;1;10 > +t < 28;6;8 > L : x = 1 28t; y = 1 + 6t; z = 10 + 8t L : t = x + 1 28 = y + 1 6 = z10 8 : 1

3. Sean los planos: P1 : 6x7y4z1 = 0 & P2 : 2x4y3z8 = 0: (a) (1.0 Punto)Bosqueje la grÆca del plano P1: Solucin La forma mÆs simple se logra buscando los puntos de interseccin del plano con cada uno de los ejes coordenados. Otra forma (œtil cuando un panono interseca algœn eje coordenado), buscando trazas: Trazaz=0 : 6x7y = 1; Trazay=0 : 6x4z = 1; Trazax=0 : 7y4z = 1 Intersecciones con los ejes: Primer traza: y = 1 7 ; x = 1 6 Intersecciones con los ejes: Segunda traza: z = 1 4 ; x = 1 6 Intersecciones con los ejes: Tercer traza: y = 1 7 ; z = 1 4

z

-0.1

0.10

-0.2

-0.10

y

0.00

x

0.05-0.05

0.0

0.15

(b) (1.0 Punto)Determine la distancia del origen al plano P1: Solucin D(0;0;0);P1 = Proy^ u n ! PQ = Punto del plano:0;0; 1 4 ; Q(0;0;0) = = ! PQ 1 k nk n = < 0;0; 1 4 > 1 p101 < 6;7;4 > = 1 p101 = 9: 9504102 L: (c) (1.0 Punto)Encuentre ecuaciones paramØtricas para la recta de in- terseccin de los dos planos. Solucin Resolvemoselsistema 6x7y4z = 1 2x4y3z = 8 Resolviendo el sistema lineal de ecuaciones! ! x = 1 2t 26 5 ;y = t 23 5 ;z = t:

2

4. (2.0 Puntos)Identique y bosqueje (usando trazas), la grÆca de la su- percie 4x2 + y2 4z2 = 16: Solucin x2 4 + y2 16 z2 4 = 1 : Hiperboloide de dos hojas (eje paralelo al eje Y)

(a) Intersecciones con el plano XY : Primer traza (z = 0):

x2 4

+

y2 16

= 1

Intersecciones con el plano Y Z: Segunda traza (x = 0):

y2 16

z2 4

= 1

Intersecciones con el plano XZ: Tercer traza: (y = 0):

x2 4

z2 4

=

1 (no existe). Unicas dos trazas:

x2 4

+

y2 16

= 1

...