CALCULO VECTORIAL

1.6 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS EN COORDENADAS CARTESIANAS

Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:

A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)

Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo

Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:

-

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + B.y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:

C.z + D = 0 ; z = Cte.

Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

B.y + D = 0 ; y = Cte.

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + D = 0 ; x = Cte.

Plano que pasa por dos puntos.

Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:

Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:

Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos

x = a ; y = b ; z = c.

Según lo anterior se tiene:

Po = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z)

Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:

y desarrollando el determinante:

b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c

o, lo que es igual :

Ecuación normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al

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