Calculo Vectorial

FORMULARIO

Modulo (Magnitud)

R^2: ‖A ⃗ ‖= √((A_1 )^2+ (A_2 )^2 ) R^3: ‖A ⃗ ‖= √((A_1 )^2+ (A_2 )^2+ (A_3 )^2 )

Ángulo (Dirección y sentido)

R^2: 1° Cuadrante (+,+) θ=arc tan⁡〖A_2/A_1 〗 2° Cuadrante(-,+) θ=arc tan⁡〖A_2/A_1 〗+180

3° Cuadrante (-,-) θ=〖arc tan〗⁡〖A_2/A_1 〗+180 4° Cuadrante (+,-) θ=arc tan⁡〖A_2/A_1 〗+360

Ángulos directores

R3: α=arc cos⁡(A_1/‖A ⃗ ‖ )

β=arc cos⁡(A_2/‖A ⃗ ‖ )

γ=arc cos⁡(A_1/‖A ⃗ ‖ )

〖cos〗^2 (α)+ 〖cos〗^2 (β)+ 〖cos〗^2 (γ)=1

Vector unitario (e ⃗)

R^2 ∶ e ⃗=A_1/‖A ⃗ ‖ + A_2/‖A ⃗ ‖ 〖 R〗^3: e ⃗=A_1/‖A ⃗ ‖ + A_2/‖A ⃗ ‖ + A_3/‖A ⃗ ‖

‖e ⃗ ‖=1

Suma de vectores

Sean los vectores A ⃗ (A_1,A_2,A_3 ) Y B ⃗ (B_1,B_2,B_3 )

(A+B) ⃗= (A1+B1), (A2+B2), (A3+B3)

Ecuaciones con vectores

Sea el vector resultante R ⃗=(ai+aj+ak)+(bi+bj+bk)+(ci+cj+ck)=di+ej+fk

Obtener las determinantes de sus tres incógnitas (a,b,c)

(a1+b1+c1) i=d

(a2+b2+c2) j=e

(a3+b3+c3 k=f

[■(a_1&b_1&c_1@a_2&b_2&c_2@a_3&b_3&c_3 )]=[■(d@e@f)]

Determinante de una matriz (método de Sarrus)

Det= (a1*b2*b3)+(b1*c2*a3)+(c1*a2*b3)–(c1*b2*a3¬)–(a1*c2*b3)–(b1*a2*c3)

Producto escalar

A ⃗∙ B ⃗= ‖A‖ ‖B‖ cos⁡〖θ 〗

A ⃗∙ B ⃗=(A_1+A_2+A_3 )(B_1+B_2+B_3 )= (A_1 B_1+A_2 B_2+A_3 B_3 )=k

Producto vectorial o externo

Sean A ⃗= A_1 i+A_2 j+A_3 k ; B ⃗= B_1 i+B_2 j+B_3 k

A ⃗ x B ⃗= [■(i&j&k@A_1&A_2&A_3@B_1&B_2&B_3 )]=[■(A_2&B_2@A_3&B_3 )]i-[■(A_1&A_3@B_1&B_3 )]j+[■(A_1&A_2@B_1&B_2 )]k

A ⃗ x B ⃗= (A_2 B_3-A_3 B_2 )i-(A_1 B_3-B_1 A_3 )j+(A_1 B_2-B_1 A_2 )k

‖A ⃗ x B ⃗ ‖=‖A ⃗ ‖ ‖B ⃗ ‖ sen θ u ⃗ = area del pararelogramo

Propiedades del producto escalar

1 Propiedad conmutativa

A ⃗∙ B ⃗=B ⃗∙A ⃗

2 Distributiva del producto escalar

A ⃗∙(B ⃗∙C ⃗ )=A ⃗∙ B ⃗+ A ⃗∙ C ⃗

3 Propiedad conmutativa del producto interno por un escalar siendo k un escalar

k(A ⃗∙ B ⃗ )= (k∙A ⃗ )∙A ⃗ = A ⃗∙(k∙ B ⃗ ) = (A ⃗∙ B ⃗ )k

4 Propiedad de los componentes rectangulares

i∙i=1 ; j∙j=1 ; k∙k=1 ; i∙j=0 ; j∙k=0 ; i∙k=0

5 Siendo

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