Calculo Vectorial

INTRODUCCIÓN

El desarrollo histórico del Análisis estuvo siempre estrechamente ligado al de la Geometría Analítica. Cada nuevo descubrimiento en uno de estos campos condujo a un progreso en el otro. El problema de trazar tangentes a las curvas condujo al descubrimiento de la derivada; el problema del área llevó al concepto de integral; las derivadas parciales se introdujeron para estudiar las superficies en el espacio. Junto a estos resultados se tuvieron desarrollos paralelos en la mecánica y en la física matemática.

En 1788 Lagrange publicó su obra maestra Mécanique Analytique (Mecánica Analítica), en donde mostraba la gran flexibilidad y la extraordinaria potencia de los métodos analíticos en el estudio de la mecánica. Más tarde, en el siglo XIX, el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) introdujo su Theory of Quaternions (Teoría de los Quaterniones), un nuevo método y un nuevo punto de vista que contribuyeron en gran medida a la comprensión de la física y del álgebra. De la fusión de las principales ideas del Análisis y de los quaterniones y de la geometría analítica nació en seguida, especialmente por los trabajos de J. W. Gibbs (1839-1903) y de O. Heaviside (1850-1929), un nuevo capítulo de las matemáticas: el álgebra vectorial. Inmediatamente surgió la certeza de que eran los vectores los instrumentos ideales para exponer y simplificar muchos de los conceptos importantes de la geometría y de la física.

Los conocimientos obtenidos en el desarrollo de este contenido, es sumamente importante porque trata de explicar y comprender las aplicaciones, la interpretación y las propiedades que tienen los vectores

APLICACIÓN: DISEÑO DE PUENTES CON LA UTILIZACION DE CERCHAS O ARMADURAS

Al abordar el estudio de los vectores, y la acción de las fuerzas en un cuerpo, hemos querido caracterizar y representar la aplicación de los vectores a obras ingenieriles, por tal motivo hacemos uso de la resistencia de materiales que es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados.

La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.

Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.

Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. El triángulo es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Al aplicar una fuerza de compresión sobre uno cualquiera de los vértices de un triángulo formado por tres vigas, automáticamente las dos vigas que parten de dicho vértice quedan sometidas a dicha fuerza de compresión, mientras que la tercera quedará sometida a un esfuerzo de tracción.

CERCHAS:

Las cerchas o armaduras son uno de los elementos estructurales que forman parte del conjunto de las estructuras de forma activa. Es por ello que para establecer los aspectos relacionados con las cerchas, a continuación se indica las propiedades de la cercha como elemento estructural sometido a tracción y compresión. Además se muestra las propiedades que rige el diseño de la cercha, así como las unidades adicionales requeridas, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de las secciones transversales de los componentes de la cercha.

Para distinguir las propiedades de la cercha primero se establece la definición donde se indica las ventajas, comportamiento, relación con el cable y arco, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural.

La cercha es una composición de barras rectas unidas entre sí en sus extremos para constituir una armazón rígida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano, particularmente aplicadas sobre las uniones denominadas nodos; en consecuencia, todos los elementos se encuentran trabajando a tracción o compresión sin la presencia de flexión y corte.

COMPORTAMIENTO:

El triangulo es la forma básica de la cercha, esta es una forma estable aún con uniones articuladas (caso contrario el rectángulo que con uniones articuladas es inestable). La forma estable del triangulo se puede imaginar si se parte del análisis de un cable sometido a una carga puntual (figura 2.a), el cable para ser estable requiere de anclajes que soporten el corte que genera la tensión del cable en el apoyo. Si se invierte la forma del cable se obtiene un arco que está sometido a compresión por ser funicular de la forma anterior (figura2.b) se puede observar que las dimensiones del arco son mayores que las del cable por tratarse de un diseño a compresión en contraste al cable que es la tracción. El arco requiere tener los apoyos fijos para resistir el empuje hacia afuera, si se sustituye el apoyo fijo por un tipo de apoyo que garantice la estabilidad e isostaticidad (un apoyo fijo y otro con rodamiento), se necesita colocar una barra que resista el empuje del arco para obtener la configuración básica de la cercha (figura 2.c)

CLASIFICACIÓN:

Existen numerosas clasificaciones de las cerchas según su inventor o propagador: Pratt, Howe, Warren; y según su forma: dientesierra, tijera, tipo K.

USOS:

Las cerchas se emplean cuando se tiene luces libres grandes en puentes, sitios públicos y estadios.

Las cerchas paralelas se usan en recintos amplios, de cordones superiores curvos (se comportan similar a una estructura colgante o un arco y se emplean en algunos puentes), en techos y entrepiso se emplean cerchas livianas, donde se observa un tipo de cercha empleado para techo y entrepiso que corresponde a variaciones realizadas sobre la Warren

Cerchas en paralelos

Cerchas en puentes

Cerchas en entrepiso

...