Calculo Vectorial

2y( z^2-2y^2 )=0

2y(5-4y²-2y^2 )=0

2y(5-6y^2 )=0

y=0

Ó

y=±√(5/6)

Para Y = 0 se tiene x = 0 y z = ±√5. Para y=±√(5/6) se tiene x = ±2√(5/6)

z = ±√(10/6) = ±√(5/3) . Por último, como se requiere una x, y, z sean positivos, se tiene que:

ƒ (-2 √(5/6),-√(5/6) ,√(5/3)) = (-2 √(5/6),) (-√(5/6),) = √(5/3) = 5/3 √(5/3)

Y

ƒ (±2 √(5/6),±√(5/6) ,- √(5/3)) = 5/3 √(5/3)

Serían los valores máximos y minios de ƒ , respectivamente.

Pag. 128

4.- Utiliza multiplicadores de LaGrange para encontrar la distancia mínima del punto (2,1 ,1) al plano: x + y + z = 1.

Solución

Sea (x, y, z) un punto arbitrario en el plano dado. Entonces,

s= √((x-2)²+( y-1)^2+(z-1)²)

Representa la distancia entre (2, 1, 1) y un punto en el plano. Para simplificar los cálculos, se minimizara s² en lugar de s. con la restricción g(x, y, z) = x + y + z -1, se hace:

F (x,y,z,λ) = s² + λg

= (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² + λ(x + y + z -1)

Entonces se tiene el sistema de ecuaciones:

F (x,y,z,λ) = 2 (x - 2) λ = 0

F (x,y,z,λ) = 2 (y - 1) λ = 0

F (x,y,z,λ) = x + y + z -1 = 0

De las primeras 3 ecuaciones se concluye que:

- λ= 2 (x - 2) = 2 (y - 1) = 2(z – 1) o que x = y + 1; z= y.

Por lo tanto, de la ecuación para F₁ se tiene:

(Y + 1) + y + (y – 1) = 0 Ó y = 0

Lo que significa que x = 1 y z = 0. Así, en el plano x + y + z = 1, en el punto (1, 0, 0) es el más cercano al punto dado (2, 1, 1) y la distancia mínima es:

s= √((1-2)²+( 0 – 1)^2+(0-1)²) = √3

(pag. 128)

5.- utiliza los multiplicadores de LaGrange para encontrar las dimensiones de la caja rectangular (con orillas paralelas a los ejes cartesianos) de volumen máximo que se puede inscribir en el elipsoide:

(x²⁄a²) + (y²⁄b²) + (z²⁄c²) = 1

Solución

Sea (x, y, z) un punto sobre la elipsoide y un vértice del solido rectangular. Entonces las dimensiones de la caja son 2x por 2y por 2z. Ahora debe maximizarse ƒ (x, y, z) = (2x) (2y) (2z) sujeta a la restricción (x²⁄a²) + (y²⁄b²) + (z²⁄c²) = 1. Sea

F (x,y,z,λ) = 8xyz + λ (x²/a²+y²/b²+z²/c²-1 )

Entonces:

Fx= 8yz + 2λx/a² = 0

8xyz + 2λx²/a² = 0

Fy= 8xz + 2λy/b² = 0

8xyz + 2λy²/b² = 0

Fz= 8xy + 2λz/c² = 0

8xyz + 2λz²/c² = 0

Fλ= x²/a²+y²/b²+z²/c²-1=0

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De las primeras tres ecuaciones se tiene (x²⁄a²) = (y²⁄b²) = (z²⁄c²). Al sustituir en Fλ = 0 se llega a:

3x²/a² = 1 Ó

X = a/√3

3y²/b² = 1 Ó

y = b/√3

3z²/c² = 1 Ó

z = c/√3

Por lo tanto, las dimensiones de la caja son 2a/√3 por 2b/√3

...