CALCULO VECTORIAL

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CÁLCULO VECTORIAL

Evaluación Práctica

Weimar Alejandro Palacio A.

3396756

Docente:

Elizabeth Martínez Villarragra

Universidad Santo Tomás

Vicerrectoría de Universidad Abierta y a Distancia

Ingeniería logística y operaciones

Centro de Atención Universitario Medellín

(Medellín)

2020

INTRODUCCIÓN

El cálculo vectorial es una rama de las matemáticas que nos permite analizar el comportamiento de funciones vectoriales, en la que se tienen en cuenta dos o mas variables, sus principales aplicaciones son en la física y en la ingeniera, ya que por medio de esta es posible analizar con mayor facilidad distintos modelos de la vida cotidiana que requieren de la intervención de más de una variable.

Es por ello la importancia de conocer y dominar sus conceptos principales, en el presente trabajo se busca aplicar los conocimientos aprendidos durante el curso de calculo vectorial por medio de la solución de problemas en específico, como es la optimización por medio de multiplicadores de Lagrange y la aplicación del concepto de campo conservativo para la determinación de constantes.

1. Una mezcladora de cemento forma una pila cónica al verter el concreto en una superficie. En el momento en que la altura y el radio de la base del cono de concreto son respectivamente de y , la velocidad a la que aumenta la altura del cono es de , y la velocidad a la que aumenta el volumen de cemento en la pila es de . En ese momento, determine con qué rapidez está cambiando el radio del cono.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Derivando la ecuación del volumen de una pila cónica, se obtiene

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por hipótesis tenemos que cuando  se tiene que , reemplazando en la formula (1) se obtiene[pic 10][pic 11]

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simplificando

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despejando  se obtiene [pic 15]

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por lo tanto, en ese momento la rapidez es igual a .[pic 21]

2. Se desea fabricar una lata cilíndrica de metal a partir de una lámina. Use multiplicadores de Lagrange para determinar la razón entre las dimensiones de la lata cilíndrica con la mayor capacidad.

El volumen de la lata esta dado por

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Ahora, para determinar el área de la lata cilíndrica debemos observar que esta está compuesta por dos bases circulares, sea el radio de estas , por lo tanto, el área de las bases es , la lata también esta constituidas por una lámina rectangular de dimensiones  y , es decir que el área requería para construir la lata es de [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

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Se quiere optimizar la mayor capacidad es decir el mayor volumen, por lo que la función a optimizar es

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con la restricción de un área constante que la vamos a llamar , es decir bajo la restricción [pic 29]

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Por los multiplicadores de Lagrange se tiene que cumplir que

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entonces se tiene

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y

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Reemplazando en la ecuación (1), se tiene

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Por lo que se tiene las siguientes ecuaciones

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agregando la restricción

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Entonces el sistema que se debe resolver es

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Despejando  de la ecuación (2)[pic 39]

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Remplazando este resultado en la primera ecuación, se obtiene

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