CÁLCULO VECTORIAL

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CÁLCULO VECTORIAL

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INTRODUCCIÓN

Ya se conoce el cálculo de funciones de variable real a parte de ella y con valores reales.

En esta asignatura se tratarán las funciones de varias variables, es decir:

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Este estudio vale la pena, pues no son solo abstracciones matemáticas, sino que surge en forma natural en muchos problemas de todas las ciencias.

Por ejemplo, especificar el vector cardiaco, la rapidez de reacción de una solución compuesta por varios reactivos

La mayor importancia de este curso radica en generalizar el concepto de Derivación e integración en “n” dimensiones, estudiando las relaciones entre estas ideas y cómo usarlas en la resolución de una amplia gama de problemas.

Convendrá comenzar con especificación de algunos conceptos

Espacio Euclídeo n-dimensional (n)[pic 5]

Según el caso que sea se podrá visualizar una terna (x, y, z) en  como un punto en el espacio o como un vector con origen.[pic 6]

Se puede generalizar para describir  de manera distinta como el conjunto de n-uplas (x1;x2;...;xn)  donde xi  pertenece a los reales o como un vector.[pic 7]

Espacio Métrico (concepto)

Es todo conjunto no vacío de elementos llamados puntos entre los cuales se ha definido una función denominada distancia que cumple ciertas propiedades

Definición:  sea un conjunto se llama distancia a la función [pic 8]

Tal que  se verifica [pic 9]

1. [pic 10]
2. [pic 11]
3. [pic 12]
4. [pic 13]

Se llama espacio métrico al par [pic 14]

Ejemplo: En los números reales tenemos definida la siguiente función distancia

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                                                                   [pic 16]

Gráficamente.

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Probar que “d” es un espacio métrico.

1.     Por propiedad de módulo.[pic 18]
2. [pic 19]
3. [pic 20]

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^[1][pic 22]

1. Por la desigualdad triangular^[2].[pic 23]

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En el espacio 2 podemos definir tres tipos de distancia.[pic 25]

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1. Distancia uno [pic 28]

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Gráficamente:

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1. Distancia euclídea [pic 32]

Gráficamente:

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1. Distancia Infinito [pic 34]

Toma la mayor magnitud de las longitudes calculadas en [pic 35]

Ejercicio: Determinar la distancia de los puntos , realizar interpretación gráfica.[pic 36]

En el espacio, es decir en, , definimos la siguiente distancia.[pic 37]

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Sea , entonces[pic 40]

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