Calculo vectorial

[pic 1][pic 2]

INSTITUTO POLITECNICO  NACIONAL

“ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA  Y  ELECTRICA

UNIDAD  CULHÚACAN”

ALONSO PAZ  LUIS

SANCHEZ GOMEZ CARLOS

CALCULO  VECTORIAL

TAREA 2

PRODUCTO PUNTO.

El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman, esto es

[pic 3]

Sin embargo, la forma más común de definir el producto punto no es esa, sino por medio de la suma de los productos de sus respectivas coordenadas, es decir, si [pic 4] y[pic 5], entonces podemos definir el producto punto como

[pic 6]

Ejemplo:

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas son las siguientes:[pic 7]

[pic 8]SOLUCION:

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

El ángulo entre dos vectores es la capacidad del arco de la circunferencia que forman los segmentos de los vectores unidos por un punto.

En otras palabras, el ángulo entre dos vectores es el ángulo que se forma cuando dos vectores se multiplican.

Dos vectores formarán un ángulo cuando ambos se estén multiplicando, es decir, cuando multipliquemos vectores los estaremos uniendo en un punto en común tal que formarán un ángulo.

Fórmula

Sean dos vectores de 3 dimensiones:

[pic 9]

EJEMPLO:

Hallar el ángulo comprendido entre los vectores [pic 10] y [pic 11]

Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores 

[pic 12]

Calculamos la magnitud del primer vector 

[pic 13]

Calculamos la magnitud del segundo vector 

[pic 14]

Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo [pic 15] entre dos vectores

[pic 16]

El valor [pic 17] que satisface la igualdad anterior es [pic 18]

VECTORES ORTOGONALES

Cuando dos vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) son perpendiculares entre sí, es decir, forman un ángulo recto (θ = π/2), se dice que son vectores ortogonales. Esta situación se denota como A ⊥ B. Dos vectores serán ortogonales cuando su producto escalar (también llamado producto punto y producto interno) es cero:

A ⊥ B            →         A · B = AxBx + AyBy + AzBz   

O

A ⊥ B            →         θ = π/2           →          A ∙ B = |A| |B| cos θ = 0

Ya que   cos (π/2) = 0.

...