Econometria, Caminata Aleatoria

[pic 1]

Tarea 1

Danilo Melgarejo Andrade

Junto con el presente informe, se adjuntan los archivos correspondientes a las bases de datos utilizadas en los cálculos. Cada base de dato se encuentra en archivos individuales los que se describen a continuación

AMAZON:

• AM MES: datos con frecuencia mensual
• AM DIA: datos con frecuencia diaria
• AM_2009: datos con frecuencia mensual don fecha posterior a la crisis financiera de 2008

EBAY:

• EB MES: datos con frecuencia mensual
• EB DIA: datos con frecuencia diaria
• EB_2009: datos con frecuencia mensual don fecha posterior a la crisis financiera de 2008

TARGET:

• TGT MES: datos con frecuencia mensual
• TGT DIA: datos con frecuencia diaria
• TGT_2009: datos con frecuencia mensual don fecha posterior a la crisis financiera de 2008

NASQAD:

•  NA MES: datos con frecuencia mensual
• NA DIA: datos con frecuencia diaria
• NA_2009: datos con frecuencia mensual don fecha posterior a la crisis financiera de 2008

Asimismo, se adjunta archivos de R Studio correspondiente cálculo de cada activo. Por un tema de orden, se efectuaron un archivo para cada empresa.

Parte I: Teórica

1. Encontrar las distintas medidas de dependencia revisadas en clases, para los modelos: random walk, autorregresivo y de media móvil.

1. Random Walk o Caminata Aleatoria:

Existen dos tipos de caminata aleatoria:

• Caminata aleatoria sin tendencia, sin intercepto.
• Caminata aleatoria con tendencia, con un término constante o intercepto

Para el primer caso, valor de Y en el tiempo t es igual a su valor en el tiempo (t - 1) más un choque aleatorio

𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝑢t,

Donde 𝑢𝑡 es un término de error de ruido blanco, con media 0 y varianza 𝜎 2

𝐸(𝑌𝑡 ) = 𝐸 (𝑌0 + ∑𝑢𝑡) = 𝑌0

 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝑡𝜎 2

La media va a ser igual a su valor inicial, mientras se incrementa el valor de t, la varianza también aumenta de manera indefinida, violando una condición de la estacionalidad.

la mayoría de las veces cuando Y(0) = 0, la esperanza es  E(Yt) = 0.

Para el segundo caso,

𝑌𝑡 = 𝛿 + 𝑌𝑡−1 + 𝑢

𝛿 se conoce como tendencia, según 𝛿 sea positiva o negativa, se tiene

Esperanza:         𝐸(𝑌𝑡 ) = 𝑌0 + 𝑡𝛿 

Varianza:           𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝑡𝜎 2

la media y la varianza se incrementan con el tiempo, violando los supuestos de estacionalidad.

1. Autorregresivo (AR)

la variable dependiente y la variable explicativa son la misma con la diferencia que la variable dependiente estará en un momento del tiempo posterior (t) al de la variable independiente (t-1).

En una serie temporal estacionaria (AR1) de grado 1

𝑌𝑡 = c+𝛿 𝑌𝑡−1 + at

Donde:

 C es una constante

𝛿 es el parámetro autorregresivo

At es un error con esperanza cero, varianza cero y sin autocorrelación

Esperanza:                𝐸(𝑌𝑡 ) = c+𝛿 E(𝑌𝑡−1)

Varianza:                   𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝛿2  𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡−1)+ 𝜎2

Auto covarianza:          Cov𝑎𝑟(𝑌𝑡  * 𝑌𝑡−1 ) = 𝐸(𝛿 *  𝑌𝑡−1  + at) 𝑌𝑡−1

Si el proceso es estacionario

𝐸(𝑌𝑡 ) = E(𝑌𝑡−1)

𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = V𝑎𝑟(𝑌𝑡−1)

  Por lo que  

                                                      [pic 2]

,           [pic 3]

donde  es la desviación estándar[pic 4]

En una serie temporal estacionaria (ARp) de grado p

𝑌𝑡 = c+𝛿 𝑌𝑡−1 + 𝛿 𝑌𝑡−2 +….. 𝛿 𝑌𝑡−p + at

𝐸(𝑌𝑡 ) = E(𝑌𝑡−1) = E(𝑌𝑡−2) = …..= E(𝑌𝑡−p)

𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = V𝑎𝑟(𝑌𝑡−1) = V𝑎𝑟(𝑌𝑡−2) =…….=  V𝑎𝑟(𝑌𝑡−p)

1. Media Móvil

Caso de Media móvil de orden 1 ó MA(1).

𝑌𝑡 = δ + εt- – θ εt-1 

Esperanza:   E(𝑌𝑡) = δ

Varianza:     Var (𝑌𝑡) = Var(εt) + θ2 Var(εt-1) = (1 + θ2) * 𝜎2

Donde:

 εt es ruido blanco

Caso de un proceso segundo orden o MA(2).

𝑌𝑡 = δ + εt – θ1 εt-1– θ2 εt-2 

Esperanza:           E(𝑌𝑡)=δ

Varianza:              Var(𝑌𝑡) = Var(εt) +  θ21 Var(εt-1)+ θ2 2 Var(εt-2)

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