Ecuaciones Cuadraticas

DESIGUALDAD CUADRATICA

Una desigualdad cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

Consideremos la gráfica de la ecuación y = 3 x 2 + x + 2 . Para ello escogemos a = 3, b = 1 y c = 2 en la gráfica de arriba.

Si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 > 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la desigualdad sea cierta. En este caso, para todos los valores de x, la inecuación es cierta ya que toda la gráfica está por encima del eje x, la solución de esta inecuación es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 < 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la gráfica tenga valores menores o iguales a cero en el eje y, es decir, los valores de x para los cuales la gráfica está por debajo del eje x. Pues ninguno de los valores de x satisface ese criterio, la solución de esta inecuación es el conjunto vacío.

Analicemos un tercer caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = x 2 - 2 x + 1 . Para ello escogemos a = 1, b = -2 y c = 1, la gráfica resultante es:

Este caso es muy parecido al caso anterior, la gráfica está por encima del eje x, sin embargo, toca el eje x en un punto. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el conjunto de todos los números reales. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 < 0 , es el conjunto vacío.

La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 > 0 , es el conjunto de todos los números reales, excepto el punto donde toca el eje x,x=1. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el punto donde toca el eje x, x=1.

En resumen, para resolver inecuaciones cuadráticas usamos el hecho que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual a cero. (O sea los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero). Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como puntos críticos de la inecuación y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.

Método para resolver inecuaciones cuadráticas

Para resolver una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la

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