ECUACIONES CUADRATICAS

Resumen y Ejercicios Ecuaciones cuadráticas (2)

I. Una ecuación cuadrática con coeficientes reales es una ecuación de la forma ,002 =≠++ acbxax siendo cba,, números reales. Ejemplos de ecuaciones cuadráticas: 402 −= xx ; 10 23 2 += − xx ; 60 52 += + xx ; 200 5 2 −= x ; 10 2 +=x

II. Raíz o solución de una ecuación cuadrática. Un número r es una raiz o una solución de la ecuación cuadrática 0 2 += + cbxax , si y solo si, al sustituir x por r, se cumple la igualdad. Es decir: 0 2 += +⋅⋅ crbra

Ejemplo. Determinar el valor de m en la ecuación: 150 6 2 += − mxx , sabiendo que una de sus raíces es: 3. Solución. Sustituyendo x=3 en la ecuación, se obtiene: 015336 2 += −⋅⋅ m , de donde 23.=m

III. Resolver una ecuación cuadrática significa, hallar todas las raíces (o soluciones) de la ecuación cuadrática. Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Los más usuales son: a) Factorización b) Completando el cuadrado de un binomio c) Fórmula cuadrática.

a) Método de Factorización Este método se usa preferentemente cuando la expresión cbxax ++2 se puede factorizar o descomponer en un producto de dos binomios lineales de manera rápida.

Ejemplo 1 Resolver la ecuación 0632 2 −= + xx

7;9 70,,90 0)7)(9( 6302 12 2 −== −=+= −=+ −=+ xx xox xx xx

Ejemplo 2 Resolver la ecuación 07 2 += xx

7;0 70,,0 0)7( 70 12 2 =−= +== += += xx xox xx xx

Ejercicios (1) Usando este procedimiento resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1) 05615 2 += + xx 2) 0883 2 −= + xx 3) 0454 2 −= − xx 4) 370 2 −= xx 5) 120 5 2 += xx 6) 810 2 −=x

7) 012023 2 += − xx 8) 072 2 −= + xx 9) 010196 2 += − xx

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b) Método Completación de un binomio al cuadrado. Este método permite resolver cualquier ecuación cuadrática. Se aplica la siguiente propiedad: si B A = 2 entonces AB =± .

Ejemplo 1 Resolver la ecuación 630 22 −= + xx

,97, 18,,18 164 164 64)1( 63121 263 6302 2 2 2

2

=−= −−+==− −±= =±+ += =+++ += −=+ xox xox x x x xx xx xx

Ejemplo 2 Resolver la ecuación 50 312 2 += − xx

3 7

2

3 7

2

3 7

)2(

7)2(3 125)44(3 50)4(3

2

2

2

2

=±

=±−

−=

−= =−+−− +=−

x

x

x

x xx xx

Ejercicios (2) Usando el método de completación de cuadrado resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1) 05615 2 += + xx 2) 0883 2 −= + xx 3) 010196 2 += − xx Nota. El método de completación de cuadrado aplicado a la ecuación general 02 +=+ cbxax , proporciona una fórmula con la cual se puede resolver de manera directa cualquier ecuación cuadrática. c) Método de fórmula. Resolver la ecuación 0 2 += + cbxax , siendo 0 ≠a (expresada en la forma canónica).

a acb

a b

x

a acb

a b

x

a bac

a b

x

a b

a c

a b

x

a b

x

a c

x

a b

x

xc

a b

xa

2

4

2

4

4

2

4

4

2

22

2

2

2

2

22

22

2

2

2

−

−±=

−

=±+

−+

=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛−+=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛++

=−+

=−⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

Por lo tanto, las raíces de la ecuación cuadrática 0 2 += + cbxax (escrita en la forma

canónica) se pueden obtener usando la fórmula

a acbb

x

2

42 ±−− = .

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Ejercicios (3) Usando este procedimiento resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1) 05615 2 += + xx 2) 0883 2 −= + xx 3) 0454 2 −= − xx 4) 037 2 −= xx 5) 0125 2 += xx 6) 081 2 −=x 7) 012023 2 += − xx 8) 072 2 −= + xx 9) 010196 2 += − xx 10) 30 67 2 −= + xx 11) 8356 39 2 −= xx 12) 10 713 2 −= − xx 13) 21)3)(7( =++ xx 14) xx x − =+− 46)12)(35( 15) 30)6(5 =−− xxx 16)

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