Las ecuaciones cuadráticas.

Tema III: Ecuaciones Cuadráticas.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 
  
 

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10 
  
 

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 
 

1. Factorización Simple. 
2. Completando el Cuadrado. 
3. Fórmula Cuadrática. 
  

Factorización Simple:

 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8

 (x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2] [pic 1]

 ( x +   )   (x  -   ) = 0        

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        

x + 4 = 0       x – 2 = 0

x + 4 = 0      x – 2 = 0

x = 0 – 4      x = 0 + 2

x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

Fórmula Cuadrática:

 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: [pic 2]

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8

 [pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Solución I

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Solución II

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

 4x2 + 12x – 8  = 0  Divido a todos los miembros entre 4.

 4        4      4      4        

x2 + 3x – 2 = 0   Quedándonos de la siguiente forma donde      

    ahora,  a= 1.

 Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___    [Colocar los blancos]

x2  + 2x + 1    = 8 + 1        [pic 14]

x2  + 2x + 1 = 9         Convirtiéndolo en un cuadrado perfecto

(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.

Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

[pic 15]

[pic 16]

x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3       x = -1 – 3

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