Ecuaciones Cuadraticas

Introducción

El análisis de la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una incógnita, tratada con anterioridad. Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es más difícil de abordar y se necesitan nuevos métodos, así, como el conocimiento previo de álgebra elemental en especial de expresiones algebraicas.

En analogía con la ecuación lineal que genera una recta en el plano cartesiano, la ecuación cuadrática genera el objeto geométrico llamado Parábola, cuyo estudio se aborda con el nombre de Función Cuadrática ySecciones Cónicas.

Conceptos previos

Contenido

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• 1 Introducción

• 2 Conceptos previos

• 3 ¿Qué es una Ecuación?

• 4 Qué es una Raíz

o 4.1 Propiedad raíz cuadrada

• 5 Propiedad Cero

• 6 Productos notables

• 7 Ecuación cuadrática

• 8 ejemplos

• 9 Clasificación

• 10 Completa

o 10.1 Completa General

o 10.2 Completa Particular

• 11 Incompleta

o 11.1 Incompleta Binomial

o 11.2 Incompleta Pura

• 12 Factorización

• 13 Completación de cuadrados

• 14 Formula general

• 15 Tipos de soluciones

• 16 Interpretación geométrica

• 17 Aplicaciones

¿Qué es una Ecuación?

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ejemplo. 3x - 8 = 10

sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

Vease el artículo:Ecuación

Qué es una Raíz

Representación de "raíz cuadrada de x".

En matemática, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de xse denota por .

Ejemplo. , ya que

Ejemplo. , ya que

No todos los números reales no negativos tienen una raíz cuadrada exacta.

Ejemplo. .

Vease el artículo:Raíz cuadrada

Propiedad raíz cuadrada

Esto significa que y satisfacen la ecuación. Esto es debido a que es una ecuación de segundo grado y ésta tiene a lo más dos soluciones. Ademas, la raíz tiene sentido en el conjunto de los números reales si a es no negativo.

Ejemplo. Encontrar el valor de x en la ecuación: x2= 9

Usando la propiedad nos queda: . Por lo tanto la incognita x tiene dos valores: x=3 y x=-3

Respuesta: Los números multiplicados dos veces a si mismos que dan como resultado 9 son 3 y -3

Propiedad Cero

'Propiedad'. El producto de dos números es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.

Ejemplo. Encontrar el valor de a en:

Por propiedad : 3=0 o a=0. La igualdad 3=0 es un absurdo y se descarta, por tanto nos queda a = 0

Respuesta: si y solo si a = 0

Productos notables

• (a + b)2 =a2+ 2ab + b2

• (a + b)(a - b) = a2 - b2

• (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab

Vease el artículo:Productos notables

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Ecuación cuadrática

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita (en este caso x) es dos.

La forma general de la ecuación cuadrática es:

ax2+ bx + c = 0

con a, b, c números reales cualquiera y (a distinto de cero).

Un ejemplo sería: 2x2 - 3x = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones

Ejemplos

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