Ecuaciones De Primer Grado

1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1.4 Ecuaci´on Diferencial Lineal de Primer Orden

Una ecuaci´on diferencial de primer orden, se dice que es lineal en y, si tiene la forma, o

mediante ´algebra puede llevarse a la forma siguiente:

y0 + f(x)y = r(x) (1)

Observe que la caracter´ıstica de este tipo de ecuaciones es el hecho de que la variable y as´ı

como y0 est´an elevadas a la potencia 1, adem´as de que el coeficient de y es una funci´on de

la variable x.

Este tipo de ecuaciones diferenciales recibe adem´as el nombre de ecuaci´on diferencial lineal

homog´enea cuando el t´ermino r(x) es cero, y si r(x) es diferente de cero, recibe el nombre

de lineal no-homog´enea.

Son muchas las ´areas de ingenieria donde aparecen con frecuencia este tipo de ecuaciones

diferenciales, tal es el caso en circuitos el´ectricos con inductacias y resistencias, con capacitores

y resistencias, aplicaciones de la segunda ley de Newton tales como sistema masaresorte,

caida libre con fricci´on proporcional a la velocidad, entre otros.

1.4.1 Soluci´on de la Ecuaci´on Diferencial Lineal.

Para encontrar la soluci´on de ecuaciones difereciales lineales, vamos a arreglar la ecuacion

(1). En un principio, vamos a escribirla de la forma siguiente

(f(x)y − r(x)) dx + dy = 0 (2)

Observe que en (2) se presenta en la forma general de una ecuaci´on diferencial exacta, pero,

¿Ser´a en realidad exacta? o ¿Ser´a necesario algun factor de integraci´on?

Para resolver lo anterior, vamos a varificar la condici´on de exactitud y en caso de no serlo,

buscaremos alg´un factor de integraci´on.

Veamos si la ecuaci´on (2) es una ecuaci´on diferencial exacta,

M(x, y) = f(x)y − r(x) N(x, y) = 1

@M(x, y)

@y

= f(x) @N(x, y)

@y

= 0

por tanto no es exacta.

Para buscar un factor de integraci´on, hacemos la resta

@M(x, y)

@y

−

@N(x, y)

@x

= f(x) − 0 = f(x)

por lo que dicha resta debemos dividirla entre N(x, y) para que el cociente sea exclusivamente

funci´on de x. As´ı,

@M

@y − @N

@x

N

= f(x) − 0

1

= f(x)

luego el factor de integraci´on es

F.I = e

R

f(x)dx (3)

Multiplicando (2) por el factor de integraci´on que encontramos en (3), tenemos

e

R

f(x)dx[f(x)y − r(x)]dx + e

R

f(x)dxdy = 0 (4)

que de acuerdo a lo expuesto en tema de factores integrantes, la ecuaci´on diferencial (4) es

exacta, donde ahora la nueva

M(x, y) = e

R

f(x)dx[f(x)y − r(x)] y N(x, y) = e

R

f(x)dx

Para

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