Ejercicios Calculo porcion

3.

Una cubeta con agua caliente se enfría en una habitación a 12°. Inicialmente la temperatura del agua era de 90°. Después de cinco minutos el agua tiene una temperatura de 65°. Usando la Ley de enfriamiento de Newton,

se pide:

a) (15 puntos) Determinar la constante de proporción. Explicar el signo de esta constante.

b) (10 puntos) Determinar el tiempo que debe pasar para que la temperatura del agua sea de 25°.

Solución.

La ecuación diferencial de la Ley de Enfriamiento de Newton, es.

A)[pic 1]

Datos proporcionados son:

Para  t0 = 0 min , T0= 90° c , TA = 12°

Para  t1 = 5 min, T1 = 65°

Entonces nuestra ecuación diferencial queda.

[pic 2]

)                 (  [pic 3][pic 4]

Nuestra Ecuación diferencial por variables separadas se puede solucionar utilizando integrales.

ʃ(          ln ( T-12 )= K t + C[pic 6][pic 5]

Para encontrar C debemos utilizar nuestros datos anteriores,  Para  t0 = 0 min, T0= 90° c y reemplazar en la ecuación general encontrada.

              0[pic 7]

ln ( T-12 )= K t + C                    ln ( 90-12 )= K * 0 + C                     ln(78) = C[pic 8][pic 9]

C = 4.36

Luego para responder la pregunta a), debemos despejar K de la ecuación general obtenida

ln ( T-12 )= K t + 4.36                     k =  [pic 11][pic 10]

Reemplazando los datos proporcionados tenemos, Para  t1 = 5 min, T1 = 65°

k =                       k = - 0.078[pic 13][pic 12]

Entonces la respuesta a la pregunta a), es  la constante de proporción es k = - 0.078, y posee signo negativo ya que es un sistema al cual se le quita, calor ósea disminuye la temperatura.

Luego para responder la pregunta b), debemos despejar t de la ecuación general obtenida, nos queda

t = [pic 14]

Para determinar el tiempo que debe pasar para que la temperatura del agua sea de 25°, se calcula

t =                         t = 23 min[pic 16][pic 15]

Por lo tanto el tiempo que debe pasar para que la temperatura del agua sea 25° es de 23 minutos.

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