El Sistema De Los Numeros Reales

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES SE CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES

Un numero racional es un numero real que se puede expresar como el cocientea/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números realesque no son racionales se llaman irracionales. Por ejemplo, la razón del perímetro de una circunferencia a su diámetro es irracional. Este número realse denota por P y se escribe P = 3.1416 para indicar que P esaproximadamente igual a 3.1416. Otro ejemplo de un numero irracional es Ö 2.Los números reales se pueden representar por expresiones decimales infinitas.Por ejemplo, realizando la división puede verse que la representación decimaldel numero racional 177/55 es 3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 se repiten indefinidamente. Los números reales pueden representarse siempre por expresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una combinación dedígitos que se repiten indefinidamente. Los números irracionales puedenrepresentarse por expresiones decimales infinitas no periódicas.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1)Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.2)Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes a losreales.3)Existencia de elemento inverso(inverso aditivo): a+(-a)=04)Existencia de elemento neutro: a+0 =a5)Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a6)Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)7)Existencia de elemento inverso: a.1/a = 18)Existencia de elemento neutro(del producto) : a.1 = a9)Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)10)Tricotomía : a>b , a<b o a=b11)Monotonía de la suma12 Monotonía del producto.13) Propiedad Transitiva a>b>c entonces a>c14) Propiedad Uniforme

Los números reales

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .

Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .

Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable.

Veamos por último un cuadro resumen de las propiedades que hemos analizado en los distintos conjuntos de números.

Ordenado Denso Numerable Estructura algebraica

+ Semigrupo

* Semigrupo

+ Grupo

* Semigrupo

+,* Anillo conmut. con1

+ Grupo

* Grupo

+,* Cuerpo conmut.

No tiene estructura algebraica al no ser cerrado para + y *

+ Grupo

* Grupo

+,* Cuerpo conmut.

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Construcción por números decimales

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que , es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es un elemento del conjunto . Además, consideramos que no existen

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