Elementos de las cónicas

Cónicas.

Elementos de las cónicas:

Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Circunferencia.

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación analítica de la circunferencia: Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:

Pasando la raíz al otro miembro:

Desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que:

Si hacemos D = -2a, E = -2b, F = a2 + b2 - r2 tendremos:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

Ejemplo:

• Encontrar la ecuación de la circunferencia tiene como centro (0,0) y pasa por (7,-9)

Elipse.

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuación analítica de la elipse: Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF + PF' = 2a

Elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :

(a2-c2)•x2 + a2y2 - (a2-c2)•a2 = 0

A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puede quedar :

b2x2 + a2y2 = a2b2

Dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :

b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0

Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen por qué ser iguales .

Ejemplo:

• ¿Cuál es la distancia de un extremo del eje menor al foco de la elipse x²/4+y²/3=1?

Aplicación:

• Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.

• Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.

• En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.

Hipérbola.

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante

...