Elementos de una elipse

Estimado amigo

Problema 1) Sabemos que la excentricidad e es:

e = c/a

siendo:

c = semidistancia focal

a = semieje mayor = 148,5 MM Km

calculemos c:

c = (a)(e) =>

c = (148,5)(0,017) =>

c = 2,5245 MM Km =>

c ≈ 3 MM Km

entonces, si llamamos d a la distancia mínima y D a la distancia máxima:

d = a - c =>

d = 148,5 - 3 =>

d = 145,5 =>

d ≈ 146 MM Km = distancia mínima aproximada de la Tierra al Sol

D = c + a =>

D = 3 + 148,5 =>

D = 151,5 =>

D ≈ 152 MM Km = distancia máxima aproximada de la Tierra al Sol

Problema 2) Como entre el centro (3,-2) y el vértice dado hay tres unidades, entonces:

a = 3

además, la excentricidad e es igual a 1/3, por lo tanto:

e = c/a = 1/3 =>

c = a/3 =>

c = 3/3 =>c = 1conocidos c y a, podemos hallar b:a² = b² + c² =>b = √(a² - c²) =>b = √(3² - 1²) =>

b = √(9 - 1) =>

b = √(8) =>

b = 2√(2)

teniendo a, b y el centro de la elipse, obtenemos su ecuación canónica:

(y - y₁)² ... (x - x₁)²

------------ + ------------ = 1 =>

.... a² ............... b²

(y - 1)² ..... (x - 3)²

---------- + ------------ = 1 =>.... 3² ....... [2√(2)]²(y - 1)² ..... (x - 3)²---------- + ----------- = 1 =>

.... 9 ........... 4(2)

(y - 1)² ..... (x - 3)²

---------- + ----------- = 1 ECUACION EN FORMA CANÓNICA

.... 9 ............. 8

para pasar la ecuación a la forma general, desarrollamos los binomios:

(y - 1)² ..... (x - 3)²

---------- + ----------- = 1 =>

.... 9 ............. 8

y² - 2y + 1 ..... x² - 6x + 9

-------------- + ---------------- = 1

.... 9 .................... 8

común denominador 72:

8y² - 16y + 8 + 9x² - 54x + 81

--------------------------------------… = 1 =>....................... 72

8y² - 16y + 8 + 9x² - 54x + 81 = (1)(72) =>

9x² + 8y² - 54x - 16y + 89 - 72 = 0 =>

9x² + 8y² - 54x - 16y + 17 = 0 ECUACION EN FORMA GENERALElipse

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatrizrespecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Índice

[ocultar]

• 1 Historia

• 2 Elementos de una elipse

o 2.1 Puntos de una elipse

o 2.2 Ejes de una elipse

o 2.3 Excentricidad de una elipse

o 2.4 Excentricidad angular de una elipse

o 2.5 Constante de la elipse

o 2.6 Directrices de la elipse

• 3 Ecuaciones de la elipse

o 3.1 En coordenadas cartesianas

 3.1.1 Forma cartesiana centrada en el origen

 3.1.2 Forma cartesiana centrada fuera del origen

o 3.2 En coordenadas polares

 3.2.1 Forma polar centrada en origen

 3.2.2 Formas polares centradas en un foco

o 3.3 Formas paramétricas

o 3.4 Área interior de una elipse

o 3.5 Perímetro de una elipse

o 3.6 Propiedades notables

• 4 La elipse como cónica

• 5 La elipse como hipotrocoide

• 6 Construcción paramétrica de una elipse

• 7 Anamorfosis de una circunferencia en una elipse

• 8 Elipses semejantes

• 9 La elipse en mecánica celeste

• 10 Véase también

• 11 Referencias

• 12 Enlaces externos

Historia[editar • editar código]

Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas (Egipto).

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.2

Elementos de una elipse[editar • editar código]

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

• el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse[editar • editar código]

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá

...