Errores De Redondeo Y Aritmética De Una Computadora. (Resumen)

En la aritmética computacional común, no siempre el termino cero se obtendrá. Para ver por qué, debemos explorar el mundo de la aritmética con un número finito de cifras.

En el mundo de las computadoras, cada número representable tiene sólo un número finito, fijo, de cifras. Esto significa, por ejemplo, que sólo los números racionales (y no todos ellos) se pueden representar con exactitud.

Los errores de redondeo surgen al usar una calculadora o computadora para cálculos con número reales, pues la aritmética de la máquina sólo utiliza números con una cantidad de cifras finitas, de modo que los cálculos se realizan únicamente con representaciones aproximadas de los números verdaderos. En una computadora común, sólo se usa un subconjunto relativamente pequeño del sistema de números reales para representarlos a todos. Este subconjunto contiene sólo números racionales (tanto positivos como negativos) y almacena la parte fraccionaria, junto con una parte exponencial.

El uso de dígitos binarios tiende a encubrir las dificultades de cálculo que aparecen al usar una colección finita de números de máquinas para representar a todos os números reales. Para examinar estos problemas, supondremos, para mayor claridad, que los números de máquina se representan en la forma de punto flotante decimal normalizada

+ 0.d1d2…dk x 10n. 1 < d1 < 9, y 0 < d1 < 9.

Para cada i = 1,2,…,k. Los números de esta forma se llaman números de máquina decimales con k dígitos.

Cualquier número positivo real dentro del intervalo numérico de la máquina se puede normalizar como

y = 0,d1d2...dkdk+1dk+2…x10n.

La forma de punto flotante de y, que denotamos f1(y), se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Hay dos formas de realizar esto. Un método, llamado truncamiento, consiste simplemente en cortar los dígitos dk+1dk+2... para obtener

f1(y) = 0,d1d2…dk x 10n.

El otro método llamado redondeo, suma 5 x 10n-(k+1) ay y luego trunca el resultado para obtener un número de la forma

f1(y) = 0.8182…8k x 101.

Así, al redondear, si dk+1 > 5, sumamos 1 a dk para obtener f1(y); es decir, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos todo excepto los primeros k dígitos; así, redondeamos hacia abajo. Si el redondeo es hacia abajo, entonces 8i = di para cada i = 1,2,…,k. Sin embargo, los dígitos podrían cambiar si el redondeo es hacia arriba.

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