Escribir la ecuación diferencial

1. Escribir la ecuación diferencial que responde a la siguiente condición y determinar su solución así como la grafica de la solución general correspondiente:

a) En cada punto (x,y) la pendiente de la tangente es igual a la ordenada del punto aumentada en 5 unidades.

b) La población de una ciudad minera crece a un ritmo proporcional a dicha población.

c) La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto (x,y) del plano xy, está dada por 1+2x

2. Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 5 cuyos centros están en el eje x.

Solución:

1A)

dy/dx=5+y

La pendiente es la derivada, y aumentada en cinco unidades se refiere a una suma, la solución es:

dy/(5+y)=dx

∫▒〖1/(5+y) dy 〗=∫▒dx

ln(5+y)=x+c

e^ln(5+y) =e^(x+c), e^ln(5+y) =e^x e^c, 〖y+5=ke〗^x donde k=e^c ambas son constantes

〖y=ke〗^x-5

1B)

Ecuación diferencial:

Población=constante*d(población)/dt

p=c(dp/dt)

Solución

dp/dt=kp

dp/kp=dt

1/k ln p=t+c; ln p=kt+kc ; e^ln(p) =e^(kt+kc)

p=c₁e^kt

1C)

dx/dy=1+2x , dy= (1+2x)dx; y=x+x^2+c

2)

Se toma la ecuacion de la circunferencia de radio cinco y centro en el origen

x^2+y^2=25 y derivando con implícita queda

2x+2x dx/dy=0 ; dx/dy=(-2x)/2y

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