Ecuación Diferencial Ordinal

Costo de manufactura

La relación entre el costo de manufactura por el artículo M y el número de tipos de artículos fabricados N; es tal que la tasa de incremento del costo de manufactura, a medida que aumenta el número de tipos, es igual a la razón del costo por artículo más el número de tipos, dividido, todo, entre el número de tipos de artículos que se manufacturan. Para obtener la relación entre el costo de fabricación por artículo y el número de tipos de productos fabricados si M = M_0 cuando N = 1, se procede de la siguiente manera.

SOLUCION:

dM/dN=(M+N)/N=M/N+1

N*dM=(M+N)dN

como son dos funciones homogéneas de grado uno, la ecuación diferencial es homogénea.

Al sustituir M = vN y dM = vdN + Ndv , la ecuación anterior toma la forma

N*dM=(M+N)dN

N*(vdN + Ndv) =( vN+N)dN

vNdN + N^2 dv =( vN+N)dN

Al despejar dv:

dv =(( vN+N)dN- vNdN)/N^2

dv =dN/N

Al integrar ambas expresiones con respecto a v ; se tiene:

∫▒dv =∫▒dN/N

v =ln⁡N +c

Al sustituir v = M/N ; se tiene

M/N=ln⁡N +c

Al despejar M de la expresión anterior,

M = N ln⁡N+ Nc

Y puesto que M = M_0 cuando N = 1;

M_0=c

Y el costo de manufactura por artículo, para el caso particular en que M = M_0 cuando N = 1;

Se representa por la ecuación

M = N( M_0 +ln N)

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