Cálculo Diferencial e Integral. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Granville.     Cálculo Diferencial e Integral.

ECUACIONES  DIFERENCIALES  ORDINARIAS

201. Ecuaciones diferenciales; orden y grado. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales. En este libro hemos utilizado, frecuentemente, ecuaciones diferenciales. Así, en el ejemplo 1, de la ecuación diferencial

 (1)        [pic 1]

Integrando, encontraremos

1. y = x2 + c

la integración de la ecuación diferencial

1. [pic 2]

Nos llevó a la ecuación

1. x2 + y2 = 2C

Las ecuaciones (1) y (3) son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, y (2) y (4) son, respectivamente, las soluciones generales.

Otro ejemplo de ecuación diferencial es

1. [pic 3]

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamada por el orden de la derivada.

El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece.

La derivada de mayor orden que aparece en una ecuación diferencial puede ser afectada de exponentes. El mayor exponente indica el grado de la ecuación diferencial.

Así, la ecuación diferencial

 (6)        [pic 4]

en donde y’ e  y’’ son, respectivamente, la primera y la segunda derivada de y con respecto a x, es de segundo grado y de segundo orden.

202. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. CONSTANTES DE INTEGRACIÓN. Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación. Así,

1. y = a Sen x
   es una solución de la ecuación diferencial
2. [pic 5]

En efecto , derivando (1),

1. [pic 6]

Si ahora sustituimos  (1) y (3) en (2), obtenemos

        – a Sen x + a Sen x = 0 ,

que nos dice que   (2)   queda satisfecha.   Aquí  a  es una constante arbitraria.   De la misma manera puede demostrarse que

1. y = b Cos x

es una solución de (2)  para cualquier valor de b.   La relación

1. y = c1 Sen x + c2 Cos x

es una solución todavía mas general de (2).   Efectivamente,  si damos ciertos valores  a.  c1  y  c2   vemos que la solución   (5)   incluye  las soluciones (1 )  y  (4).

Las constantes arbitrarias c1 y c2 que aparecen en (5) se llaman constantes de integración. Una solución como (5), que contiene constantes arbitrarias en número igual al orden de la ecuación (en este caso, dos) se llama la solución completa o general, o también, integral general. * Las soluciones que se obtienen de ésta dando a las constantes valores particulares se llaman soluciones particulares. En la práctica, una solución particular se obtiene de la solución general por condiciones dadas del problema, que la solución particular ha de satisfacer.

EJEMPLO.    La solución general de la ecuación diferencial

(1)        y" + y = 0

es,  según hemos visto,   y = c1 Cos x + c2 Sen x. Hallar una solución particular tal que

(2)        y = 2,    y' = – 1,    cuando x = 0.
Solución.    De la solución general

(3)        y = c1 cos x + c2 sen x

derivando, obtenemos,

(4)        y' = –c1 sen x + c2 cos x.

Sustituyendo (2) en (3) y (4), encontramos c1 = 2, c2 = – 1 • Introduciendo estos valores en (3) , tenemos la solución particular que se pidió,

y = 2 Cos x – Sen x.

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración.

203. VERIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES. Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales , mostraremos c6mo se verifica una solución dada.

EJEMPLO 1.    Demostrar que

1. y = c1x Cos Ln x + c2 x Sen Ln x + x Ln x

es una solución de la ecuación diferencial

1. [pic 7]

Soluci6n.    Derivando (1),  obtenemos

1. [pic 8]
2. [pic 9]

Sustituyendo en   (2)   los valores dados por   (1),   (3)   y   (4),  encontramos que la ecuación se satisface,  pues se obtiene una identidad.

EJEMPLO 2.    Demostrar que

1. [pic 10]

Es una solución particular de la ecuación diferencial
(6)        '          xy'2 -1=0.
Solución.    Derivando  (5),   se obtiene

        yy'- 2 = 0,    de donde,   [pic 11].

Sustituyendo este valor de y' en   (6)  y reduciendo,  obtenemos

        4 x - y2 = 0,

que,  según  (5),  es cierto.

PROBLEMAS   TAREA  PRIMERA. PARTE

Verificar las siguientes soluciones de las ecuaciones diferenciales correspondientes.

        Ecuaciones diferenciales        Soluciones

1. [pic 12]        y = c1 +2x+ c2 x2.
2. [pic 13]        [pic 14]
3. [pic 15]        y = c1 e– 2x + c2 e3t
4. [pic 16]        x = c1 et + c2e–t + c3 e–2t
5. [pic 17]        y = c (x – c)2.
6. [pic 18]        x y = 2 ex – 3e–x.
7. [pic 19]        y = c1 Cos(2t + c2)
8. [pic 20]        x = e3t Cos 2t +3
9. [pic 21]        y = a ex/b – b
10. [pic 22]        [pic 23]
11. [pic 24]        [pic 25]
12. [pic 26]        s = 2 Sen 2t + Cos 2t + 2t.
13. [pic 27]        [pic 28]
14. [pic 29]        x = Cos 2t + 2 Cos 3t + 3 Sen 3t
15. [pic 30]        x = c1 Cos 3t + c2 Sen 3t + (1/2) Sen 3t
16. [pic 31]        [pic 32]

204. Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado. Una ecuación de primer orden y de primer grado puede reducirse a la forma

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