CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL [pic 1]

SEMESTRE 2022-I

Examen Final

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Pregunta 1 (5.5 puntos)  

Se sube una bolsa de arena que está en el suelo. La bolsa con arena tiene una masa inicial de 30𝑘𝑔, pero mientras se sube, la arena de su interior se va cayendo de modo que, para una altura cualquiera, la masa de la bolsa con arena es igual a 𝑚 = 30 − 3𝑦.  

Para subir la bolsa con arena, un trabajador se ubica arriba, a 5𝑚 del suelo y utiliza una cuerda que pesa 0.5 𝑘𝑔/𝑚.

Calcule el trabajo que se realizó para subir (desde arriba) la bolsa con arena y la cuerda, desde el suelo hasta una altura de 5𝑚.

Tenga en cuenta:

1. Despreciar las dimensiones de la bolsa de arena (tomarla como carga puntual).
2. La cuerda al inicio está estirada los 5 metros, y a partir de ahí el hombre empieza a subirla.

Para subir la cuerda se tiene:

[pic 2] 

𝑓 = 𝑚𝑔 = 0.5∆𝑦 𝑔,   𝑑 = 5 − 𝑦

        𝑦        25

        𝑤        = 𝑔        0.5 (5 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0.5𝑔 5𝑦 −        = 0.5𝑔        25 − [pic 3]        = 6.25𝑔 = 61.3 𝑁. 𝑚 [pic 4]

        2        2

Para subir la arena se tiene que para una altura 𝑦, la masa es 𝑚 = 30 − 3𝑦 y sube 𝑑𝑦. Por tanto:

𝑓 = 𝑚𝑔 = (30 − 3𝑦)𝑔,     𝑑 = 𝑑𝑦

        𝑦        25

        𝑤        = 𝑔         (30 − 3𝑦)𝑑𝑦 = 3𝑔 10𝑦 −        = 3𝑔        50 − [pic 5]        = 112.5𝑔 = 1103.6 𝑁. 𝑚 [pic 6]

        2        2

El trabajo total es la suma de ambos trabajos 𝑊 ≅ 1165 𝑁. 𝑚  .

Pregunta 2 (6 puntos)  

Un tanque con forma de pirámide cuadrangular, con altura 3 𝑚 y base de 1 𝑚 × 1 𝑚, se encuentra ubicado con el vértice en el suelo. El tanque se está llenado por arriba a 0.75 𝑚 /ℎ.

Tenga en cuenta que el volumen de una pirámide de altura ℎ y base 𝐿 × 𝐿 es igual a [pic 7] 𝐿 ℎ.

1. Calcule la velocidad a la que está cambiando el nivel de agua en el taque cuando se tiene un nivel de 1.5𝑚.

(2.5 puntos)

1. Explique con palabras cómo es esa velocidad en cualquier instante (es constante, o varía, y si varía lo hace acelerada o desaceleradamente). (1 punto)
2. Si en un instante el nivel de agua es 1𝑚 y se sabe que la base de la pirámide de agua aumenta a razón de 0.35 𝑚⁄ℎ  (metros por hora) en ese mismo instante; calcule la velocidad a la que se está llenando el tanque. (2.5 puntos)

[pic 8] 

a) Se tiene por Tales:

        𝐿        1

=         ℎ        3[pic 9]

Por tanto:

𝑉 = [pic 10] 𝐿 ℎ = [pic 11] ℎ ℎ = [pic 12] ℎ

        𝑑𝑉        1        𝑑ℎ

        =        ℎ         [pic 13]

        𝑑𝑡        9        𝑑𝑡

        1        𝑑ℎ

        0.75 =        1.5        

        9        𝑑𝑡 .

        𝑑ℎ        9 × 0.75[pic 14]

        =        = 3𝑚/ℎ

        𝑑𝑡 .        1.5

b) La velocidad a la que cambia el nivel no es constante, es una velocidad desacelerada con respecto al nivel:

a mayor nivel de agua, menor velocidad.

c) Se tiene que:

𝑉 = [pic 15] 𝐿 ℎ = [pic 16] 𝐿 (3𝐿) = 𝐿

        𝑑𝑉        𝑑𝐿

        = 3𝐿         [pic 17]

        𝑑𝑡        𝑑𝑡

        𝑑𝑉        1

        [pic 18]        = 3 × [pic 19] × (0.35) = 0.12 𝑚 /ℎ

        𝑑𝑡        9

/

Pregunta 3 (6.5 puntos, 3.25 puntos c/u)  

a) Una corporación tiene una cierta cantidad de dinero, 𝐴, en un fondo bancario. La compañía observa que esta cantidad de dinero aumenta a razón de 𝑟𝐴, donde 𝑟 es el interés anual. Pero, al mismo tiempo la compañía retira dinero del fondo a razón de 9300𝑒  𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠/𝑎ñ𝑜, donde 𝑡 es el tiempo trascurrido en años.  Encuentre una expresión para la cantidad de dinero que hay en el fondo en un instante cualquiera, si inicialmente se tenía 500 000 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠, y el interés es de 0.07.

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