CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CALCULO  DIFERENCIAL  E  INTEGRAL

Función:  Es un conjunto de parejas ordenadas  ( x , y );  en donde todos los valores posibles de “ x “ se llama dominio de la función y todos los valores posibles de “ y “ se llama rango de la función.

Símbolo de función  y = f ( x )

Se lee:  “ y igual a f de x “

“x “es variable  independiente.

“y “es variable  dependiente.

Ejemplo:

        Y = f (x) = x 2 – 2 x

                                        Encontrar  Dominio  de la función

                                        Encontrar  Rango  de la función

y = ( -2 ) 2 –2 ( -2 )  =  4 + 4  =  8

y = ( -1 ) 2 – 2 ( -1 ) = 3

y = ( 0 ) 2 – 2 ( 0 )  =  0 – 0  =  0

y = ( 1 ) 2 – 2 ( 1 ) = 1 – 2  =  -1

y = ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) = 0

y = ( 3 ) 2 – 2 ( 3 ) = 9 – 6 = 3

[pic 1]                                  Df  = ( - ∞ , ∞ )

                                            Rf = [ -1 , ∞ )

Operaciones con funciones

Dado  y = f ( x )  =  x 2  - 2 x – 3        encontrar:

1. y = f ( -2 )  =  ( -2 ) 2 –2 ( -2 ) –3  =  4 + 4 – 3  =  5

1. y = f ( 3 )  =  ( 3 ) 2 –2 ( 3 ) – 3  =  9 – 6 – 3  =  0

      f ( -1 )        (-1) 2 – 2 ( -1 )-3       1 + 2 – 3      0

1. y = f ( 1 ) – f ( 2 )  =  [ ( 1 ) 2 – 2 ( 1 ) – 3 ] [ ( -2 ) 2 – 2 ( -2 ) – 3 ]  =  [1–2–3]

[ 4 + 4 - 3 ]  =  [ -4 ] [ 5 ]  =  20

1. y = f ( x + h )  =  ( x + h  ) 2  -  2 ( x + h ) – 3  =  x 2 + 2 x h + h 2 – 2 x -  2h –3

1. y = f ( x + h )  =  f ( x )  =  x 2 + 2 x h + h 2 – 2 x – 3 – ( x 2 – 2 x – 3 )  

=  2 x h + h 2 – 2 h

1. y = f ( x + h ) – f ( x )  =  2 x h + h 2 – 2 h   =  2 x + h – 2

         h                        h

LIMITES

1. Lim.  3 x 2 – 2 x  =  3 ( 3 ) 2 – 2 ( 3 )  =  2 ( 9 ) – 6 = 27 – 6  =  21

x  →  3

                        ∴ lim  3 x 2 – 2 x  =  21

                        x  →  3

1. Lim  x – 4  =  4 – 4  =  0  =  0        x  →  4

2x        2( 4 )     8

1. Lim                 3 x    =  3 ( 1 )  =  3  =  ∞

x  →  1       x – 1      1 – 1          0

1. Lim                    x 2 – 4        =          ( 2 ) 2 – 4             =       4 – 4      =      0    = 0

x  →  -2        x 2 + 5 x + 6      ( - 2 ) 2 + 5 ( -2 ) + 6       4 – 10 -+ 6     -6 – 6

                                                                            indeterminación

por  lo  tanto  se  factoriza  

[pic 2]

Lim                  ( x + 2 )  ( x – 2 )  =  lim            x – 2  =  - 2 –2_ =  -4  =

x  →  -2        ( x + 3 )  ( x + 2 )      x  →-2      x + 3      -2 + 3        1

1. Lim            √ x + 1  - 3  =  √ 8 + 1  -  3  =  0                indeterminación

x  → 8                 x – 8                 8 – 8              0

Multiplicar  por  su  conjugado.

Lim             √ x – 1  - 3   *   √ x + 1   + 3   =   lim      ( √ x + 1 ) 2  - ( 3 ) 2

x  →8                x – 8              √ x + 1   + 3     x  → 8     ( x + 8 )  ( √ x + 1 +3 )

=  lim                       x + 1 – 9_______  =  lim                         x – 8________  =  lim               1___

x  → 8             ( x – 8 ) ( √ x + 1   + 3 )     x  → 8    ( x – 8 ) ( √ x + 1   +3 )        x  → 8   √x +1+3

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